מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/נגזרת - תורת הגבולות

הקדמה

ציפית משרד החינוך מתלמידי 5 יחידות הוא לדעת את "תורת הגבולות" ביחס לנגזרת של פונקציה. חלק מהמורים מלמדים את הנושא; חלק אינם; חלק מזכירים אותו. לפי הידוע לי עדין לא הייתה שאלה שהכריחה להעזר בתורת הגבולות בכדי למצוא נגזרת.
הנושא דן על מציאת נגזרת של פונקציה (כפי שלמדנו בפרק הקודם), על ידי, "תורת הגבולות". טכנית, הדרך מאוד זהה לדרך שהוצגה בפרק הקודם, אולם, בפרק זה אנו נבטא יותר מושגים. חשוב לדעת את ההסברים יותר לעתיד מאשר לבגרות.
למעשה, באמצעות הנוסחא שנציג בפרק זה, גילו את הנוסחאות המקוצרת למציאת נגזרת.

מציאת נגזרת (שיפוע) של פונקציה

הגדרות

בכדי להקל על הנושא, נעזר במושגים בהם נעזרנו בפרק הקודם, כגון "נקודת השקה", שיפוע (נגזרת) ועוד. נאמר כי על פי "תורת הגבולות" :

1. נקודת ההשקה מיוצגת כך $[x,f(x)]$ (זוהי, ההצגה המתמטית הנכונה לייצוג y של נקודה)
2. הנקודה על הפונקציה ששואפת להיות הכי קרובה לנקודה: $[x_{0}+h,f(x_{0}+h)]$ .
3. h - המרחק בין $x$ ל- $x_{0}$ .

מציאת שיפוע

נמצא את השיפוע. נזכיר כי מציאת שיפוע מתבצעת כך: $m={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$ .

נציב בנוסחא את שתי הנקודות ונקבל: $f'={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{x_{0}+h-x_{0}}}$

נצמצם: $f'={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

הנקודה שואפת להיות הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה

נזכיר כי : אנו רוצים שמרחק בין שתי הנקודות יהיה המרחק הקטן ביותר (=ישר גבולי), כיון שככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק. לכן, אנו אומרים על-פי "תורת הגבולות":

1. ${x_{0}\to x}$ - הנקודה השניה רוצה להיות בערכה שווה לנקודת ההשקה.
2. ${h\to 0}$ - המרחק בין שתי הנקודות שואף להיות אפס.

לכן, נרשום: $f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

זוהי הנוסחה למציאת נגזרת היא נקראת "הגדרת הנגזרת".

איך משתמשים בנוסחא להגדרת נגזרת?

למצוא את הנוסחא - היה קל - עתה, נדגים איך נעזרים בה!

דוגמא א'

מצא את הנגזרת של הפונקציה: $y=x^{2}$ על-פי הגדרת הנגזרת!

הנתונים שלנו:

1. נקודת ההשקה היא $(x,x^{2})$
2. הנקודה השניה $[x_{0}+h,f(x_{0}+h)]$ .
3. שתי הנקודות על אותה פונקציה $y=x^{2}$ .

הנקודה השנייה קיימת על הפונקציה ולכן מקיימת את המשוואה - נציב ערכי ונקבל: $[(x+h),(x+h)^{2}]$ .

נציב בנוסחא: $f'=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

נקבל: $f'=\lim _{h\to 0}{\frac {(x_{0}+h)^{2}-x^{2}}{h}}$

נפתח: $f'=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}$

נצמצם: $f'=\lim _{h\to 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}={\frac {h(2x+h)}{h}}=2x+h$

כיון ש: ${h\to 0}$

התשובה היא: $f'=\lim _{h\to 0}=2x$

דוגמא ב'

מצא את נגזרת הפונקציה $y=x^{2}+1$ על-פי הגדרת הנגזרת!

הנתונים שלנו:

1. נקודת ההשקה היא $(x,x^{2}+1)$
2. הנקודה השניה $[x_{0}+h,f(x_{0}+h]$ .
3. שתי הנקודות על אותה פונקציה $y=x^{2}+1$ .

הנקודה השנייה קיימת על הפונקציה ולכן מקיימת את המשוואה - נציב ערכי ונקבל: $[(x+h),(x+h)^{2}+1]$ .

נציב בנוסחא: $f'=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

נקבל: $f'=\lim _{h\to 0}{\frac {[(x_{0}+h)^{2}+1]-(x^{2}+1)}{h}}$

נפתח: $f'=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}+1-x^{2}-1}{h}}$

נצמצם: $f'=\lim _{h\to 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}={\frac {h(2x+h)}{h}}=2x+h$

כיון ש: ${h\to 0}$

התשובה היא: $f'=\lim _{h\to 0}=2x$