משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת הנקל

התמרת הנקל יכולה להיות סופית או אינסופית. פונקצית הגרעין בהתמרת הנקל היא פונקצית בסל כלשהי:

$\ {\mathcal {H}}\left[f(x)\right]=F(p)=\int \limits _{0}^{\infty }xf(x)J_{n}(px)\mathrm {d} x$

השיטה

השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה, כלומר שמתקיים, לדוגמה:

$\ {\mathcal {H}}\left[{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial ^{2}t}}\right]=\int \limits _{0}^{l}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial ^{2}t}}xJ_{0}\left({\frac {\lambda _{n}x}{l}}\right)\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d^{2}} }{\mathrm {d} t^{2}}}\int \limits _{0}^{l}u(x,t)J_{0}\left({\frac {\lambda _{n}x}{l}}\right)\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d^{2}} U(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}$

דוגמאות

בעיית גלים חד-ממדית בקוארדינטות קוטביות

נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:

$\ {\begin{cases}{1 \over c^{2}}u_{tt}={1 \over r}{\frac {\partial }{\partial r}}(ru_{r}),\ 0\leq r\leq a\\u(r,0)=u_{t}(r,0)=0\\u(a,t)=g(t)\end{cases}}$

בעיה זו מתאימה לדוגמה עבור תנודות סימטריות בממברנה מעגלית.

נפעיל התמרת הנקל סופית (כי הבעיה נתונה בתחום סופי) על המשתנה r (כי הבעיה מתוחמת ב-r) עם פונקצית בסל מסדר 0:

$\ {1 \over c^{2}}\int \limits _{0}^{a}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}rJ_{0}\left({\frac {\lambda _{n}r}{a}}\right)\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{a}{1 \over r}{\frac {\partial }{\partial r}}(ru_{r})rJ_{0}\left({\frac {\lambda _{n}r}{a}}\right)\mathrm {d} r$

(כאן λ_n הם האפסים של פונקצית בסל, כך שבביטוי לעיל היא מתאפסת בקצה התחום כי r=a שם)

כך שמתקבל:

$\ {1 \over c^{2}}U_{tt}=\int \limits _{0}^{a}{\frac {\partial }{\partial r}}(ru_{r})J_{0}\left({\frac {\lambda _{n}r}{a}}\right)\mathrm {d} r$

אינטגרציה בחלקים פעמיים של אגף ימין ושימוש בזהויות

$\ J_{0}^{\prime }(r)=-J_{1}(r),\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\left[r{\frac {\mathrm {d} J_{0}(kr)}{\mathrm {d} r}}\right]=-k^{2}rJ_{0}(kr)$

תביא למד"ר הבאה:

$\ U_{tt}+\left({\frac {\lambda _{n}c}{a}}\right)^{2}U={\frac {\lambda _{n}c^{2}}{a}}J_{1}(\lambda _{n})g(t)$

(להסביר מדוע מופיע האינקס n)

פתרון בערת פונקצית גרין יתן את הביטוי הבא:

$\ U_{n}(t)=acJ_{1}(\lambda _{n})\int \limits _{0}^{t}g(t-\tau )\sin \left({\frac {\lambda _{n}c\tau }{a}}\right)\mathrm {d} \tau$

על מנת לקבל את הפתרון במישור הזמן יש לבצע התמרה הפוכה ע"י טור בסל-פורייה.

ההתמרה ההפוכה מתקבלת על ידי פיתוח לטור שנקרא טור בסל-פורייה:

$\ u(r,t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}(t)J_{0}\left({\frac {\lambda _{n}r}{a}}\right)$

כאשר המקדמים a_n נתונים על ידי:

$\ a_{n}={\frac {2}{a^{2}J_{1}^{2}(\lambda _{n})}}U_{n}(t)$

נקבל:

$\ u(r,t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {2c}{aJ_{1}(\lambda _{n})}}J_{0}\left({\frac {\lambda _{n}r}{a}}\right)\int \limits _{0}^{t}g(t-\tau )\sin \left({\frac {\lambda _{n}c\tau }{a}}\right)\mathrm {d} \tau$