לדלג לתוכן

משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת הנקל

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

התמרת הנקל יכולה להיות סופית או אינסופית. פונקצית הגרעין בהתמרת הנקל היא פונקצית בסל כלשהי:


השיטה

[עריכה]

השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה, כלומר שמתקיים, לדוגמה:


דוגמאות

[עריכה]

בעיית גלים חד-ממדית בקוארדינטות קוטביות

[עריכה]

נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:


בעיה זו מתאימה לדוגמה עבור תנודות סימטריות בממברנה מעגלית.

נפעיל התמרת הנקל סופית (כי הבעיה נתונה בתחום סופי) על המשתנה r (כי הבעיה מתוחמת ב-r) עם פונקצית בסל מסדר 0:


(כאן λn הם האפסים של פונקצית בסל, כך שבביטוי לעיל היא מתאפסת בקצה התחום כי r=a שם)

כך שמתקבל:


אינטגרציה בחלקים פעמיים של אגף ימין ושימוש בזהויות


תביא למד"ר הבאה:


(להסביר מדוע מופיע האינקס n)

פתרון בערת פונקצית גרין יתן את הביטוי הבא:


על מנת לקבל את הפתרון במישור הזמן יש לבצע התמרה הפוכה ע"י טור בסל-פורייה.

ההתמרה ההפוכה מתקבלת על ידי פיתוח לטור שנקרא טור בסל-פורייה:


כאשר המקדמים an נתונים על ידי:


נקבל: