מרחב וקטורי, האופרטור ספאן, צירופים לינאריים, סכום מרחבים וסכום ישר
מרחב וקטורי
[עריכה]
הגדרה: מרחב וקטורי יהי שדה, קבוצה , שעליה מוגדרות פעולת חיבור בין איבריה, ופעולת הכפל בסקלר מהשדה תיקרא מרחב וקטורי מעל , אם מתקיימות כל התכונות הבאות: תכונות החיבור:
|
טענה: יהי מרחב וקטורי מעל שדה , אז מתקיימות התכונות הבאות:
לכל מתקיים .
|
תת-מרחב וקטור
[עריכה]
הגדרה: תת-מרחב וקטורי יהי מרחב וקטורי מעל שדה , אם קבוצה, היא תיקרא תת-מרחב של אם היא בעצמה מרחב וקטורי מעל השדה . |
טענה: בוחן לתת מרחב יהי מרחב וקטורי מעל שדה , ותהי קבוצה , אזי היא תת-מרחב וקטורי, אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
|
צירוף לינארי
[עריכה]
הגדרה: צירוף לינארי יהי מרחב וקטורי מעל שדה , ויהיו וקטורים במרחב , אזי סכום מהצורה נקרא צירוף לינארי של הוקטורים עם המקדמים כאשר המקדמים הם סקלרים מהשדה . |
תת-מרחב וקטורי הנפרש על ידי קבוצה
[עריכה]
הגדרה: האופרטור תהי תת קבוצה של מרחב וקטורי, נסמן ב את אוסף כל הצירופים הלינאריים של וקטורים מתוך הקבוצה , כלומר הקבוצה היא קבוצת האיברים מהצורה כאשר וקטורים במרחב , ו הם סקלרים מהשדה הערה: נסמן כקיצור של האופרטור . |
משפט: יהי מרחב וקטורי מעל שדה , ותהי קבוצה לא ריקה , אזי היא תת-מרחב וקטורי הוכחה: נצטרך להוכיח שהיא מקיימת את תנאי הבוחן לתת מרחב.
ולכן, הקבוצה הנפרשת על ידי הקבוצה היא תת-מרחב וקטורי.
|
תכונות של האופרטור ספאן
[עריכה]
משפט: תכונות של האופרטור ספאן יהי מרחב וקטורי מעל שדה , ותהיו , אזי מתקיימות הטענות הבאות:
ב, הוא בהכרח שייך גם ל כצירוף לינארי של איברי .
ב, הוא בהכרח יהיה שייך ל כצירוף לינארי של איברי .
כיוון שמתקיים , בהכרח כי היא בעצמה צירוף לינארי של איברי , וגם יתקיים כיוון שמתקיים ו עצמה היא צירוף לינארי של איברי , ובכך סיימנו עם הכיוון הראשון. כעת, נניח שמתקיים , אזי מתקיים לפי המשפט השני שהוכחנו, גם , ואם נניח שמתקיים , אזי גם מתקיים גם מהמשפט השני שהוכחנו, ולכן מתקיים כנדרש.
, אבל הוא כמובן שייך לקבוצה כיוון ש ו, ולכן
ל כנדרש.
|
סכום תתי מרחבים
[עריכה]
הגדרה: סכום תתי מרחבים יהי מרחב וקטורי מעל שדה , ויהיו תתי-מרחבים של , אזי הסכום מוגדר כ. |
משפט: יהי מרחב וקטורי מעל שדה , ויהיו תתי-מרחבים של , כאשר , ו אזי מתקיים הוכחה: נוכיח הכלה דו כיוונית בין לבין . יהי וקטור ב, אזי אפשר לבטא אותו כסכום של צירוף לינארי מאיברי , וצירוף לינארי של איברי , כלומר , אבל הסכום הזה גם שייך לקבוצה , כיוון ש, וגם , לכן , ולכן גם , כצירוף לינארי של איברי הקבוצה , ומתקיים . בכיוון השני, נניח שקיים וקטור בקבוצה , אז גם הוא מהצורה , כאשר ו, ולכן גם וגם , ולכן , כסכום של וקטור מהקבוצה ווקטור מהקבוצה , ולכן מתקיים . הראינו שמתקיים וגם , ולכן .
|
סכום ישר של תתי-מרחבים
[עריכה]
הגדרה: סכום ישר של תתי-מרחבים יהי מרחב וקטורי מעל שדה , ויהיו תתי-מרחבים של , אזי נאמר כי התת-מרחב הוא סכום ישר של , ונסמן ,אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים:
|
משפט: יהי מרחב וקטורי מעל שדה , ויהיו תתי-מרחבים של , אזי התת-מרחב הוא סכום ישר של אם ורק אם: |