מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקצית e/הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת הפונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מתוך מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקצית e/הקשר בין שיפוע המשיק לנגזרת הפונקציה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
נמצא את הנגזרת לפונקציה <math>y=e^x</math> בנקודה <math>x_1</math> |
|||
אם <math>a=2.718</math>, אז הפונקציה היא <math>y=2.718^x</math> והנגזרת היא <math>y'=2.718^x*1</math> , כלומר, נגזרת הפונקציה זהה לפונקציה. |
|||
<math>(e^x)'=e^x</math> |
|||
<math>m=\frac{y_1-y_2}{x_2-_2}=\frac{e^x-e^{x_1}}{x-x_1}</math> |
|||
נשים לב כי עבור הפונקציה המיוחדת <math>f(x)=e^x</math> מתקיים <math>f'(x)=\ln(e)\cdot e^x=1\cdot e^x=e^x=f(x)</math>, כלומר שיפוע הפונקציה בכל נקודה שווה ממש לערך הפונקציה בה (קבוע הפרופורציה הוא 1). |
|||
מאחר ש-<math>x</math> שואף ל-<math>x_1</math> נסמן <math>x-x_1=h</math> כמרחק הקטן ביותר ונציב במקום <math>e^x</math> את <math>e^{x_1+h}</math>, נקבל <math>\frac{e^{x_1+h}-e^{x_1}}{h}=</math>. |
|||
נוציא מכנה משותף ונקבל, <math>e^{x_1}*\frac{(e^h-1)}{h}</math>. |
|||
הערך <math>e^{x_1}</math> הוא קבוע ולכן נתמקד ב- <math>\frac{e^h-1}{h}</math> |
|||
מאחר שהמרחק (<math>h</math>) שואף להיות מינמלי, <math>lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h}</math> |
|||
נציב במקום אחד <math>e^0</math> ונקבל <math>\frac{e^h-e^0}{h}</math> |
|||
אם נחזור ל[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מעריכית/פונקצית e/הגדרת המספר e#חישוב המספר|הגדרת המספר <math>e</math>]], נראה כי מדובר על אותו ביטוי בדיוק בנקודה <math>x=0</math>. במילים אחרות, הנגזרת של הפונקציה זהה לפונקציה <math>(e^x)'=e^x</math>. |
|||
[[קטגוריה:חשבון דיפרנציאלי לתיכון]] |
גרסה מ־22:04, 2 במאי 2016
נמצא את הנגזרת לפונקציה בנקודה
מאחר ש- שואף ל- נסמן כמרחק הקטן ביותר ונציב במקום את , נקבל .
נוציא מכנה משותף ונקבל, .
הערך הוא קבוע ולכן נתמקד ב-
מאחר שהמרחק () שואף להיות מינמלי,
נציב במקום אחד ונקבל
אם נחזור להגדרת המספר , נראה כי מדובר על אותו ביטוי בדיוק בנקודה . במילים אחרות, הנגזרת של הפונקציה זהה לפונקציה .