חשבון אינפיניטסימלי/סימן הסכימה/הוכחה - טור המספרים הטבעיים

משפט: $\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}$

הוכחה:

בדיקה: $\sum _{k=1}^{1}k={\frac {1(1+1)}{2}}$

מכיוון ראשון, $\sum _{k=1}^{1}k=1$.

מכיוון שני, ${\frac {1(1+1)}{2}}=1$.

על כן הטענה נכונה עבור $n=1$.

נניח כי הטענה נכונה עבור $n$ : $\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}$

נוכיח נכונות עבור $n+1$: $\sum _{k=1}^{n+1}k={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$

מכיוון ראשון אנו יודעים כי סכום האיברים עד האיבר ה-$n+1$ שווה לסכום האיברים עד האיבר ה-$n$ ועוד האיבר האחרון: $\sum _{k=1}^{n+1}k=\sum _{k=1}^{n}k+(n+1)$

על פי הנחה: $\underbrace {\sum _{k=1}^{n}k} _{\frac {n(n+1)}{2}}+(n+1)={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$

${\frac {n(n+1)}{2}}+n+1={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$

$n(n+1)+2n+2=(n+1)(n+2)$

$n^{2}+n+2n+2=n^{2}+2n+n+2$