חשבון אינפיניטסימלי/סימן הסכימה/הוכחה - טור המספרים הטבעיים

משפט: $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

הוכחה:

בדיקה: $\sum _{k=1}^{1}k=\frac{1(1+1)}{2}$

מכיוון ראשון, $\sum _{k=1}^{1}k=1$.

מכיוון שני, $\frac{1(1+1)}{2}=1$.

על כן הטענה נכונה עבור $n=1$.

נניח כי הטענה נכונה עבור $n$ : $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

נוכיח נכונות עבור $n+1$: $\sum _{k=1}^{n+1}k=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

מכיוון ראשון אנו יודעים כי סכום האיברים עד האיבר ה-$n+1$ שווה לסכום האיברים עד האיבר ה-$n$ ועוד האיבר האחרון: $\sum _{k=1}^{n+1}k=\sum _{k=1}^{n}k+(n+1)$

על פי הנחה: $\underset{\frac{n(n+1)}{2}}{\underbrace{\sum _{k=1}^{n}k}}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

$\frac{n(n+1)}{2}+n+1=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

$n(n+1)+2n+2=(n+1)(n+2)$

$n^2+n+2n+2=n^2+2n+n+2$