חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/כלל השרשרת

משפט

תהי $g$ פונקציה גזירה ב־$a$ ותהי $f$ פונקציה גזירה ב־$g(a)$ .

אזי ${\frac {df}{dx}}{\bigl (}g(a){\bigr )}=f'{\bigl (}g(a){\bigr )}\cdot g'(a)$ .

הוכחה

עלינו לחשב את $\lim _{x\to a}{\frac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{x-a}}$ .

נכפיל מונה ומכנה בביטוי $g(x)-g(a)$ ונקבל:

$${\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{x-a}}&=\lim _{x\to a}{\frac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{x-a}}\cdot \lim _{x\to a}{\frac {g(x)-g(a)}{g(x)-g(a)}}\\&=\lim _{x\to a}{\frac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{x-a}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{g(x)-g(a)}}\\&=\lim _{x\to a}{\dfrac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{g(x)-g(a)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\\&=\lim _{x\to a}{\frac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{g(x)-g(a)}}\cdot \lim _{x\to a}{\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}=f'{\bigl (}g(a){\bigr )}\cdot g'(a)\end{aligned}}$$

קלי קלות, האמנם?

התשובה שלילית.

ההוכחה היתה עובדת לו הנחנו כי יש סביבה $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $g(x)\neq g(a)$ .

כיון שלא עשינו כך, יתכן וקיימת נקודה $x=c$ בסביבת $a$ כך שמתקיים $g(c)=g(a)$ , ועל כן אנו לפעמים מקבלים ${\tfrac {0}{0}}$ – פעולה לא־חוקית.

לדוגמא: הפונקציה $f(x)={\begin{cases}x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}$ , אף שהיא גזירה בנקודה 0, בכל סביבה $\delta >0$ יש נקודה $c$ בה $f(0)=f(c)=0$ .

כדי לטפל במקרה הכללי נגדיר פונקציית עזר:

$${\begin{aligned}F{\bigl (}g(x){\bigr )}={\begin{cases}{\dfrac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{g(x)-g(a)}}&:g(x)\neq g(a)\\\\\lim \limits _{x\to a}{\dfrac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{g(x)-g(a)}}&:g(x)=g(a)\end{cases}}\\F{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}={\frac {f{\bigl (}g(x){\bigr )}-f{\bigl (}g(a){\bigr )}}{x-a}}\end{aligned}}$$

ניתן לראות זאת על ידי פירוק לשני מקרים – כאשר $g(x)=g(a)$ שני צדדי המשוואה מתאפסים, וכאשר $g(x)\neq g(a)$ המכנה בהגדרת $F$ מצטמצם עם המונה בשבר הימני.

כיון ש־$F$ גזירה ב־$g(a)$ אז היא רציפה שם, ומתוך אריתמטיקה של גבולות נקבל את התוצאה הרצויה.

$\blacksquare$