חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/אינדוקציה/תרגילים

תרגיל מספר 1: הוכיחו את הטענות הבאות:
א. לכל $\ n\geq 3$ טבעי מתקיים: $\ n^{n+1}>\left(n+1\right)^{n}$.
ב. לכל $\ n\in \mathbb {N}$ מתקיים: $\ {\frac {2^{2n-1}}{\sqrt {n}}}\leq {2n \choose n}\leq {\frac {2^{2n}}{\sqrt {3n+1}}}$

תרגיל מספר 2:
א. הוכיחו שלכל $\ a,b\in \mathbb {R}$ ולכל $\ n\in \mathbb {N}$ מתקיים: $\ \left(a+b\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}$.

לשם כך היעזרו בזהות הקומבינטורית $\ {n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1}$.
ב. הוכיחו שלכל $\ n\in \mathbb {N}$ מתקיים: $\ \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$. (רמז: ניתן להיעזר בסעיף א').

תרגיל מספר 3:
א. הוכיחו שלכל $\ n\in \mathbb {N}$ מתקיים: $\ \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k\left(k+1\right)}}={\frac {n}{n+1}}$.
ב. מצאו ביטוי המפשט את $\ \sum _{k=2}{n}\left(1-{\frac {1}{k^{2}}}\right)$.

לאחר שניסיתם לפתור בכוחות עצמכם, אתם מוזמנים לבדוק כאן האם הפתרונות שלכם הם נכונים. זיכרו! מומלץ מאוד ראשית לנסות ולפתור בעצמכם, על מנת לוודא שהבנתם את החומר. יש הבדל של עולם ומלואו בין לפתור בעצמכם ובין להבין פתרון של מישהו אחר.