הקבוע המתמטי הוא מספר טרנסצנדנטי. כלומר אינו שורש של אף פולינום במקדמים שלמים.
נניח בשלילה כי אלגברי, כלומר שורש של פולינום כלשהוא
כאשר וכן .
יהי פולינום ממעלה . נגדיר . נגזור ונקבל כי
נגדיר . נגזור ונקבל כי
כיון שהפונקציה גזירה, ניישם את משפט הערך הממוצע של לגראנז' מעל הקטע כאשר . לכן קיים עבורו
נסמן
נסכום ונקבל כי
יהי פולינום בעל שורש מריבוי . נראה כי לכל מתקיים .
נרשום , כאשר פולינום עבורו .
כאשר פולינומים.
עתה נגדיר פולינום
כאשר ראשוני המקיים וגם . מתקיים כי
לכן לכל הפונקציה היא פולינום במקדמים שלמים המתחלקים כולם ב-.
לפי חלק ב, לכל מתקיים
ולכן מספר שלם המתחלק ב-.
לעומת זאת, עבור מתקיים
אך , והמספרים אינם מתחלקים ב-. לכן לא מתחלק ב-.
כלומר, הסכום הוא מספר שלם שאינו מתחלק ב-, ובפרט שונה מאפס.
לפי חלק א לכל מתקיים . לכן
על פי אי-שוויון המשולש מתקיים
אך , כלומר עבור גדול מספיק מתקיים . סתירה.