הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/קריטריון קושי לטורים

משפט

הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס אם ורק אם לכל $ε > 0$ קיים $k$ כך שלכל $n \geq m > k$ מתקיים $| \sum_{p = m}^{n} a_{p} | < ε$ .

הוכחה (1)

נניח כי $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס. אזי סדרת הסכומים החלקיים $S_{n}$ מתכנסת, לכן לפי קריטריון קושי לסדרות לכל $ε > 0$ קיים $k$ כך שלכל $n \geq m > k$ מתקיים

| S_{n} - S_{m} | = | \sum_{p = 1}^{n} a_{p} - \sum_{p = k}^{n} a_{p} | = | \sum_{p = m}^{n} a_{p} | < ε

$◼$

הוכחה (2)

נניח כי לכל $ε > 0$ קיים $k$ כך שלכל $n \geq m > k$ מתקיים $| \sum_{p = m}^{n} a_{p} | = | S_{n} - S_{m} | < ε$ , כאשר $S_{n}$ סדרת הסכומים החלקיים של הטור.

לפי קריטריון קושי לסדרות נקבל כי $S_{n}$ מתכנסת, אזי הטור מתכנס.

$◼$