הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/קריטריון קושי לטורים

משפט

הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס אם ורק אם לכל $\varepsilon >0$ קיים $k$ כך שלכל $n\geq m>k$ מתקיים ${\bigg |}\sum _{p=m}^{n}a_{p}{\bigg |}<\varepsilon$ .

הוכחה (1)

נניח כי $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס. אזי סדרת הסכומים החלקיים $S_{n}$ מתכנסת, לכן לפי קריטריון קושי לסדרות לכל $\varepsilon >0$ קיים $k$ כך שלכל $n\geq m>k$ מתקיים

$|S_{n}-S_{m}|={\bigg |}\sum _{p=1}^{n}a_{p}-\sum _{p=k}^{n}a_{p}{\bigg |}={\bigg |}\sum _{p=m}^{n}a_{p}{\bigg |}<\varepsilon$

$\blacksquare$

הוכחה (2)

נניח כי לכל $\varepsilon >0$ קיים $k$ כך שלכל $n\geq m>k$ מתקיים ${\bigg |}\sum _{p=m}^{n}a_{p}{\bigg |}=|S_{n}-S_{m}|<\varepsilon$ , כאשר $S_{n}$ סדרת הסכומים החלקיים של הטור.

לפי קריטריון קושי לסדרות נקבל כי $S_{n}$ מתכנסת, אזי הטור מתכנס.

$\blacksquare$