הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/סדרה מתכנסת אמ"מ היא סדרת קושי

משפט

הסדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מתכנסת (לגבול סופי) אם ורק אם היא סדרת קושי. כלומר, היא מתכנסת אם ורק אם לכל $\varepsilon >0$ קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n,m>N$ מתקיים $|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon$ .

הוכחה

נניח כי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ . לכל $\varepsilon >0$ קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $|a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ . נבחר מספרים $n,m>N$ ונקבל כי

$$|a_{n}-a_{m}|={\Big |}a_{n}-L+L-a_{m}{\Big |}\leq |a_{n}-L|+|a_{m}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$$

המעבר השני הוא שימוש באי־שוויון המשולש. אזי הסדרה היא סדרת קושי.

$\blacksquare$

נניח כי $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ היא סדרת קושי. ראשית, נוכיח כי היא חסומה. לכל $\varepsilon >0$ קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n,m>N$ מתקיים $|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon$ . אזי לכל $n>N$ מתקיים $a_{N}-\varepsilon <a_{n}<a_{N}+\varepsilon$ אז הסדרה חסומה בקטע $[N,\infty )$ . בקטע $[\varepsilon ,N]$ יש לסדרה רק מספר סופי של אברים ולכן היא חסומה שם. לפיכך, הסדרה חסומה על כל הישר הממשי.

על־פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה חסומה יש תת־סדרה מתכנסת. לכן לסדרה יש תת־סדרה המתכנסת לגבול שנסמנו $L$ .

נוכיח כי זהו למעשה הגבול של הסדרה. נסמן את תת־הסדרה $a_{m_{k}}$ . קיים $N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n,m>N$ מתקיים $|a_{n}-a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ .

מהתכנסות תת־הסדרה נקבל כי לכל $m_{k}>N$ מתקיים ${\bigl |}a_{m_{k}}-L{\bigr |}<{\frac {\varepsilon }{2}}$ .

אזי לכל $n>N$ מתקיים

$$|a_{n}-L|={\Big |}a_{n}-a_{m_{k}}+a_{m_{k}}-L{\Big |}\leq {\bigl |}a_{n}-a_{m_{k}}{\bigr |}+{\bigl |}a_{m_{k}}-L{\bigr |}<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$$

לכן $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ .

$\blacksquare$