משפט
הסדרה
{
a
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
מתכנסת (לגבול סופי) אם ורק אם היא סדרת קושי. כלומר, היא מתכנסת אם ורק אם לכל
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
קיים
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
כך שלכל
n
,
m
>
N
{\displaystyle n,m>N}
מתקיים
|
a
n
−
a
m
|
<
ε
{\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon }
.
הוכחה
נניח כי
lim
n
→
∞
a
n
=
L
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}
. לכל
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
קיים
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
כך שלכל
n
>
N
{\displaystyle n>N}
מתקיים
|
a
n
−
L
|
<
ε
2
{\displaystyle |a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}}
. נבחר מספרים
n
,
m
>
N
{\displaystyle n,m>N}
ונקבל כי
|
a
n
−
a
m
|
=
|
a
n
−
L
+
L
−
a
m
|
≤
|
a
n
−
L
|
+
|
a
m
−
L
|
<
ε
2
+
ε
2
=
ε
{\displaystyle |a_{n}-a_{m}|={\Big |}a_{n}-L+L-a_{m}{\Big |}\leq |a_{n}-L|+|a_{m}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }
המעבר השני הוא שימוש באי־שוויון המשולש. אזי הסדרה היא סדרת קושי.
◼
{\displaystyle \blacksquare }
נניח כי
{
a
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
היא סדרת קושי. ראשית, נוכיח כי היא חסומה. לכל
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
קיים
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
כך שלכל
n
,
m
>
N
{\displaystyle n,m>N}
מתקיים
|
a
n
−
a
m
|
<
ε
{\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon }
. אזי לכל
n
>
N
{\displaystyle n>N}
מתקיים
a
N
−
ε
<
a
n
<
a
N
+
ε
{\displaystyle a_{N}-\varepsilon <a_{n}<a_{N}+\varepsilon }
אז הסדרה חסומה בקטע
[
N
,
∞
)
{\displaystyle [N,\infty )}
. בקטע
[
ε
,
N
]
{\displaystyle [\varepsilon ,N]}
יש לסדרה רק מספר סופי של אברים ולכן היא חסומה שם. לפיכך, הסדרה חסומה על כל הישר הממשי.
על־פי משפט בולצאנו-ויירשטראס , לכל סדרה חסומה יש תת־סדרה מתכנסת. לכן לסדרה יש תת־סדרה המתכנסת לגבול שנסמנו
L
{\displaystyle L}
.
נוכיח כי זהו למעשה הגבול של הסדרה. נסמן את תת־הסדרה
a
m
k
{\displaystyle a_{m_{k}}}
. קיים
N
∈
N
{\displaystyle N\in \mathbb {N} }
כך שלכל
n
,
m
>
N
{\displaystyle n,m>N}
מתקיים
|
a
n
−
a
m
|
<
ε
2
{\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}}}
.
מהתכנסות תת־הסדרה נקבל כי לכל
m
k
>
N
{\displaystyle m_{k}>N}
מתקיים
|
a
m
k
−
L
|
<
ε
2
{\displaystyle {\bigl |}a_{m_{k}}-L{\bigr |}<{\frac {\varepsilon }{2}}}
.
אזי לכל
n
>
N
{\displaystyle n>N}
מתקיים
|
a
n
−
L
|
=
|
a
n
−
a
m
k
+
a
m
k
−
L
|
≤
|
a
n
−
a
m
k
|
+
|
a
m
k
−
L
|
<
ε
2
+
ε
2
=
ε
{\displaystyle |a_{n}-L|={\Big |}a_{n}-a_{m_{k}}+a_{m_{k}}-L{\Big |}\leq {\bigl |}a_{n}-a_{m_{k}}{\bigr |}+{\bigl |}a_{m_{k}}-L{\bigr |}<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon }
לכן
lim
n
→
∞
a
n
=
L
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}
.
◼
{\displaystyle \blacksquare }