הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן העיבוי (הדילול)

משפט (מבחן העיבוי / מבחן הדילול)

תהי $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה חיובית ומונוטונית יורדת עבורה $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ .

אזי הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס אם ורק אם הטור $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}\cdot a_{2^{n}}$ מתכנס.

הוכחה

ראשית נעיר כי למעשה הטורים לא רק מתכנסים יחדיו אלא גם מתבדרים יחדיו. זה נובע ישירות מהוכחת ההתכנסות שכן אם אחד מהם מתבדר, ניתן להניח בשלילה שהאחר מתכנס ואז נקבל כי שניהם מתכנסים וזוהי סתירה.

נניח כי $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס ונראה כי $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}\cdot a_{2^{n}}$ מתכנס.

לכל $n$ טבעי ניקח $m$ טבעי עבורו $2^{m-1}\leq n\leq 2^{m}$ (נשים לב כי בהכרח קיים כזה $m$). לכן:

$${\begin{aligned}S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}&=a_{1}+a_{2}+(a_{3}+a_{4})+(a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8})+\cdots +(a_{2^{m-1}+1}+\cdots +a_{n})\\&\geq a_{1}+a_{2}+(a_{3}+a_{4})+(a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8})+\cdots +(a_{2^{m-2}+1}+\cdots +a_{2^{m-1}})\\&\geq {\frac {a_{1}}{2}}+a_{2}+2a_{4}+4a_{8}+\cdots +2^{m-2}\cdot a_{2^{m-1}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{m-1}2^{k}\cdot a_{2^{k}}\end{aligned}}$$

נקבל ממבחן ההשוואה כי $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}\cdot a_{2^{n}}$ מתכנס.

$\blacksquare$

כעת נוכיח את הכיוון ההפוך. נניח כי $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}\cdot a_{2^{n}}$ מתכנס ונתבונן בסדרת הסכומים החלקיים שלו:

$$Q_{m}=a_{1}+2a_{2}+4a_{4}+8a_{8}+\cdots +2^{m}\cdot a_{2^{m}}$$

הסדרה $a_{n}$ מונוטונית יורדת, ומתקיים למשל

$$Q_{1}=a_{1}+2a_{2}\geq a_{1}+a_{2}+a_{3}=S_{3}$$

לכן באופן כללי $Q_{m}\geq S_{2^{m+1}-1}$ .

מהתכנסות $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}\cdot a_{2^{n}}$ נקבל כי $Q_{m}$ מתכנסת, וממבחן ההשוואה נקבל כי $S_{n}$ מתכנסת ולכן $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס.

$\blacksquare$