משפט תהי
f
{\displaystyle f}
[
N
,
∞
)
{\displaystyle [N,\infty )}
a
n
=
f
(
n
)
{\displaystyle a_{n}=f(n)}
∑
n
=
N
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }a_{n}}
∫
N
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{N}^{\infty }f(x)dx}
הוכחה המחשה גרפית לרעיון ההוכחה: שטח המלבן השמאלי התחתון הוא
a
2
{\displaystyle a_{2}}
a
1
{\displaystyle a_{1}}
לצורך הנוחיות, נוכיח עבור המקרה
N
=
1
{\displaystyle N=1}
רעיון ההוכחה מבוסס על האופן בו הוגדרה הפונקציה
f
{\displaystyle f}
∑
k
=
2
n
a
k
≤
∫
1
n
f
(
x
)
d
x
≤
∑
k
=
1
n
−
1
a
k
{\displaystyle \sum \limits _{k=2}^{n}a_{k}\leq \int \limits _{1}^{n}f(x)dx\leq \sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}}
אם
∫
1
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx}
M
{\displaystyle M}
∑
k
=
2
n
a
k
≤
∫
1
n
f
(
x
)
d
x
≤
∫
1
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \sum \limits _{k=2}^{n}a_{k}\leq \int \limits _{1}^{n}f(x)dx\leq \int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx}
כיון שהפונקציה חיובית בתחום זה. אזי
S
n
=
a
1
+
∑
k
=
2
n
a
k
≤
a
1
+
∫
1
∞
f
(
x
)
d
x
=
a
1
+
M
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+\sum _{k=2}^{n}a_{k}\leq a_{1}+\int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx=a_{1}+M}
כלומר סדרת הסכומים החלקיים
S
n
{\displaystyle S_{n}}
S
n
+
1
=
S
n
+
a
n
+
1
=
S
n
+
f
(
n
+
1
)
≥
S
n
{\displaystyle S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}=S_{n}+f(n+1)\geq S_{n}}
שהרי הפונקציה חיובית. אזי
S
n
{\displaystyle S_{n}}
סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
אם
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
L
{\displaystyle L}
∫
1
n
f
(
x
)
d
x
≤
∑
k
=
1
n
−
1
a
k
≤
∑
n
=
1
∞
a
n
=
L
{\displaystyle \int \limits _{1}^{n}f(x)dx\leq \sum _{k=1}^{n-1}a_{k}\leq \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=L}
כיון שהפונקציה חיובית וחסומה, האינטגרל הנ"ל הוא פונקציה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל, לכן
∫
1
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
אם
∫
1
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx}
lim
n
→
∞
∫
1
n
f
(
x
)
d
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{1}^{n}f(x)dx=\infty }
∫
1
n
f
(
x
)
d
x
≤
∑
k
=
1
n
−
1
a
k
=
S
n
−
1
{\displaystyle \int \limits _{1}^{n}f(x)dx\leq \sum _{k=1}^{n-1}a_{k}=S_{n-1}}
לכן
S
n
−
1
→
∞
{\displaystyle S_{n-1}\to \infty }
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
אם
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}}
∑
k
=
2
n
a
k
→
∞
{\displaystyle \sum _{k=2}^{n}a_{k}\to \infty }
∑
k
=
2
n
a
k
≤
∫
1
n
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \sum _{k=2}^{n}a_{k}\leq \int \limits _{1}^{n}f(x)dx}
לכן
lim
n
→
∞
∫
1
n
f
(
x
)
d
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{1}^{n}f(x)dx=\infty }
∫
1
∞
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
