לדלג לתוכן

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/שיטת ניוטון-רפסון

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משפט

שיטת ניוטון־רפסון משתמשת בסדרה כדי למצוא שורש של הפונקציה. עבור פונקציות מסוימות, ניתן להוכיח ששיטת ניוטון-רפסון תתכנס לפתרון המבוקש, בהתחשב בנגזרת הראשונה והשניה:

תהי גזירה פעמיים ברציפות בקטע , יש לה שורש יחיד בקטע ונבחר . אז האיטרציה תתכנס לפתרון במקרים הבאים:

במקרים אלו ניתן לתחום את גודל השגיאה, על־ידי אי־השוויון הבא:

כאשר

הוכחה[עריכה]

ההוכחה מתבססת על שימוש בטור טיילור מסדר שני. נראה אותה עבור המקרה הראשון – עבור שאר המקרים הרעיון זהה.

חלק א: הוכחת התכנסות[עריכה]

תהי הסדרה המתקבלת מאיטרציית ניוטון. נניח כי . כעת נפתח את טור טיילור של מסדר שני סביב  :

כעת נשתמש בהגדרת הסדרה ונקבל:

נעביר אגפים:

כעת נזכור כי על-פי הנתון ולכן הביטוי באגף ימין חיובי. מכאן כי גם הביטוי באגף שמאל חייב להיות חיובי. על-פי הנתון, ולכן בהכרח מתקיים:

כלומר

הראינו שהסדרה חסומה מלרע על-ידי . כעת נראה שזו סדרה יורדת: על-פי הנוסחה ידוע כי . הנגזרת חיובית, כלומר הפונקציה עולה בקטע, ומאחר ש- הרי ש- ולכן ומכאן שמתקיים . הראינו שהסדרה יורדת.

כידוע, כל סדרה יורדת וחסומה מלרע מתכנסת לגבול. נסמן . אז מתקיים: ולכן ונקבל מיידית . מכיון ש- הוא השורש היחיד בקטע, . הראנו שהסדרה מתכנסת אל השורש המבוקש. מ.ש.ל.

חלק ב': הוכחת הערכת השגיאה[עריכה]

נפתח הפעם את טור טיילור של סביב הנקודה :

כעת, לפי משפט הערך הממוצע של לגראנז' קיימת המקיימת:

וקיבלנו:

. כעת נציב את  :

.

מ.ש.ל.