הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/שיוויון נגזרות בין פונקציות גורר שהפונקציות נבדלות בקבוע

משפט

אם $f,g$ גזירות בקטע $(a,b)$ ומתקיים $f'(x)=g'(x)$ לכל $x\in (a,b)$ , אזי הפונקציות נבדלות בקבוע כלשהו, כלומר $f(x)=g(x)+c$ .

הוכחה

נגדיר $h(x)=f(x)-g(x)$ . על־פי הנתון מתקיים

$h'(x)=f'(x)-g'(x)=0$

התאפסות הנגזרת גוררת שהפונקציה קבועה, ולכן $h(x)=f(x)-g(x)=c$ עבור $c\in \mathbb {R}$ כלשהו.

לכן $f(x)=g(x)+c$ .

$\blacksquare$