הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/התאפסות הנגזרת גוררת שהפונקציה קבועה

משפט

אם $f$ גזירה בקטע $(a,b)$ ומתקיים $f'(x)=0$ לכל $x\in (a,b)$ , אזי $f$ קבועה בקטע $(a,b)$ .

הוכחה

יהיו $x_{1},x_{2}\in (a,b)$ ונניח ללא הגבלת הכלליות כי $x_{1}<x_{2}$ .

$f$ גזירה בקטע $(a,b)$ , ובפרט גזירה בקטע הפתוח $(x_{1},x_{2})$ ורציפה בקטע הסגור $[x_{1},x_{2}]$ .

תנאי משפט הערך הממוצע של לגראנז' מתקיימים, לפיכך קיים $c\in (x_{1},x_{2})$ עבורו

$f'(c)={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=0$

מכך נובע כי $f(x_{2})-f(x_{1})=0$ , כלומר $f(x_{1})=f(x_{2})$ .

לכן $f$ קבועה בקטע $(a,b)$ .

$\blacksquare$