מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
- משפט
אם
גזירה בקטע
ומתקיים
לכל
, אזי
קבועה בקטע
.
- הוכחה
יהיו
ונניח ללא הגבלת הכלליות כי
.
גזירה בקטע
, ובפרט גזירה בקטע הפתוח
ורציפה בקטע הסגור
.
תנאי משפט הערך הממוצע של לגראנז' מתקיימים, לפיכך קיים
עבורו
![{\displaystyle f'(c)={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b76868f3ba9bd8d3bfdaaa25aaf13f5c09446e)
מכך נובע כי
, כלומר
.
לכן
קבועה בקטע
.