- משפט
אם גזירה בקטע ומתקיים לכל , אזי מונוטונית עולה בקטע .
- הוכחה
יהיו ונניח ללא הגבלת הכלליות כי .
גזירה בקטע , ובפרט גזירה בקטע הפתוח ורציפה בקטע הסגור .
תנאי משפט הערך הממוצע של לגראנז' מתקיימים, לפיכך קיים עבורו
מכך נובע כי . לכן מונוטונית עולה בקטע .
- משפט
אם גזירה בקטע ומתקיים לכל , אזי מונוטונית יורדת בקטע .
- הוכחה
ההוכחה דומה מאוד להוכחה לעיל. ההבדל היחיד הוא שכאן נקבל כי ולכן מונוטונית יורדת בקטע .