תהי f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } אינטגרבילית, עבורה f ≥ 0 {\displaystyle f\geq 0} . אזי ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\geq 0} .
לכל סכום רימן S ( f , P , { t i } ) {\displaystyle S(f,P,\left\{t_{i}\right\})} נקבל: S ( f , P , { t i } ) ≥ 0 {\displaystyle S(f,P,\left\{t_{i}\right\})\geq 0}
ולכן אי-שוויון זה יישמר גם כאשר נשאיף את i לאינסוף, ונקבל ש- ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\geq 0}
QED
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
אינטגרבילית, עבורה 
. אזי 
.
נקבל: 
