הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינטגרביליות/תכונות האינטגרל/אדיטיביות האינטגרל המסוים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
משפט

אם אינטגרבילית בקטע ואם אז אינטגרבילית בקטעים ומתקיים .

הוכחה

הפונקציה אינטגרבילית בקטע ולכן היא אינטגרבילית בכל קטע חלקי.

כלומר קיימים שלושת האינטגרלים

יהי .

לקטע קיימת חלוקה עבורה , וברור שמתקיים .

קיימת גם חלוקה של הקטע עבורה , וברור גם כי .

תהי שהיא חלוקה של הקטע כולו. עבורה מתקיים

ונקבל כי

ולכן

ונקבל כי .

ברור כי , ולכן נובע כי הן הסכום והן הסכום נמצאים בקטע ולכן המרחק ביניהם קטן מאורך הקטע, שהוא קטן מ־ .

לפיכך .