אלגברה מופשטת על כוס קפה/שדות

		הדף נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה אתם מתבקשים שלא לערוך ערך זה בטרם תוסר הודעה זו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניחי התבנית.
		אם הדף לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך רצוי לתת קודם תזכורת בדף שיחת הכותבים.	שיחה

תוכן עניינים

תת פרק של שדות1

הגדרות של שדות

הגדרה 1: שדה (Field)

הגדרה 2: שדה סופי ( $\mathbb {F}$) או שדה גלואה ($GF$; Galois Field) שדה סופי, המכונה גם שדה גלואה (על שמו של אווריסט גלואה), הנו קבוצה, המכילה בתוכה מספר איברים סופי (בעלת תכונות נוספות, מסוימות). זאת, בניגוד לשדה אינסופי, המכיל אינסוף איברים..

הגדרה 3: שדה אינסופי שדה אינסופי מכיל מספר אינסופי של איברים. בהנחה שכולם שונים זה מזה, הרי שמאפיין השדה יהיה אינסופי. שדה אינסופי הנו בעל מאפיין אפס או בעל מאפיין $p$ .‏($p$ מספר האיברים בשדה. מספר זה חייב להיות ראשוני). השדות הבאים הנם בעלי מאפיין $0$, משום שהם מכילים אינסוף איברים, השונים זה מזה:

דוגמות לשדות

• $\mathbb {Q}$‏ (שדה המספרים הרציונליים)
• $\mathbb {R}$‏ (שדה המספרים הממשיים)
• $\mathbb {C}$‏ (שדה המספרים המרוכבים (קומפלקסיים))
• $\mathbb {Q} _{p}$‏ (מספר p-אדי).

מספר האיברים בשדה סופי

מספר האיברים בשדה מכונה גם: "סדר השדה" או "דרגת השדה", ומסומן: $ord\left(\right)$ .

מאפיין של שדה

כדי למצוא את מאפיין השדה, עלינו לספור כמה איברים בשדה (במקרים רבים, מספרים)- שונים זה מזה.

אלגוריתם:

• אם מצאנו איבר חדש בשדה, השונה מכל אלו שקדמו לו בשדה - נוסיף $1$ למאפיין השדה.
• אם האיבר החדש בשדה זהה לאחד או יותר מהאיברים אשר מצאנו קודם לכן בשדה - לא נוסיף $1$, ונתקדם לאיבר הבא בשדה.

מספר האיברים השונים זה מזה בשדה- מכונה "מאפיין השדה".

מאפיין של שדה סופי

• דוגמה:

נתונה לנו קבוצה סופית כלשהי, בעלת מספר איברים $n$ , אשר מהווה שדה. שדה זה הנו סופי מפני ש $n$ סופי:

$F_{n}=\left\{0,1,\cdots \left(n-1\right)\right\}$ .

שני המספרים הראשונים, השייכים לשדה, יהיו: $0\in F$ ו- $1\in F$ .

בהנחה ש $F$ הוא שדה סופי כלשהו, נתחיל כעת לספור את מספר האיברים בשדה, בהנחה שכולם שונים זה מזה:
נתחיל מהאיבר: $0\in F$, ונוסיף לו את האיבר: $1\in F$ באופן החוזר על עצמו (רפטטיבי):

• נקבל את סדרת האיברים (מספרים) הבאה:

$\underbrace {\left(\underbrace {0} _{\text{1st element}}{\text{, }}\underbrace {1} _{\text{2nd element}}{\text{, }}\underbrace {1+1} _{\text{3rd element}}{\text{, }}\underbrace {1+1+1} _{\text{4th element}}{\text{ , }}\underbrace {1+1+1+1} _{\text{5th element}}{\text{ , }}\cdots {\text{,}}\underbrace {n-1} _{\text{n element}}\right)} _{\text{All the elements of the string are distinct from each other}}$

• שני האיברים הראשונים בשדה שונים זה מזה, בגלל קיום האקסיומה: $0\neq 1$ עבור שדות.
• מכיוון שהשדה הנו סופי, השדה חייב להיות גם מחזורי (רפטטיבי), עבור שדות המקיימים: $n>1$ (כלומר, החל מהשדה הזה, בעל מספר האיברים המינימלי: $\left\{0,1\right\}$), או שדה בעל מספר איברים רב יותר. על כן, כאשר נגיע לאיבר האחרון, האיבר הבא אחריו יהיה בפשטות $0\in F$ , וספירת מאפיין השדה תחזור על עצמה (מחדש).
  
  

• דוגמה:
  
  נתבונן פעם נוספת בשדה:
  
  $F_{n}=\left\{0,1,\cdots \left(n-1\right)\right\}$ .
  
  $n$ האיברים הראשונים בשדה שונים זה מזה, אך אם נתקדם לאיבר הבא- איבר זה יהיה $0\in F$ , והוא שונה מהאיבר האחרון של הסדרה (תזכורת: כל אברי הסדרה שונים זה מזה).
  על כן, באופן מתמטי, מאפיין השדה יהיה: $Char{\text{ }}F=\left(n-1\right)+1=n=0$ .

• דוגמאות מעשיות:

דוגמה מספר 1:

מהו מאפיין השדה: $F_{2}=\left\{0,1\right\}$ ? ‏ ($2$ מציין את מספר האיברים בשדה (הסופי)).

• בתחילה, מאפיין השדה, $Char{\text{ }}F=0$ .

• נתחיל לספור:

האם $0\neq 0$ ? ‏ לא. על כן, לא נוסיף $1$ למאפיין השדה, ועדיין מתקיים: $Char{\text{ }}F=0$ .
נתקדם לאיבר הבא, $1$ . האם $1\neq 0$ ? כן. על כן, כעת: $Char{\text{ }}F=1$ .
נתקדם לאיבר הבא, שהוא שוב $0$ (השדה רפטטיבי, חוזר על עצמו). האם $0\neq 1$ ? כן, על כן: $Char{\text{ }}F=2$ .

השלמנו מחזור שלם של השדה, וקיבלנו שעבור האיבר הראשון בו: $0\in F$ , מאפיין השדה הנו: $Char{\text{ }}F=2$ .
על כן, נכתוב: $2=0$ .

$\underbrace {2} _{\text{Number of distinct elements}}=\underbrace {0} _{\text{Until we get back to the first element again}}$

דוגמה מספר 2:

הכללה לדוגמאות 1 ו-2:

• משפט:

יהי $F$ שדה סופי. על כן, מאפיין השדה אינו אפס.

קבוצות סופיות שאינן שדות (קריטריון הכרחי (אך כנראה אינו מספיק) לכך, שקבוצה מסוימת הנה שדה)

דוגמה לקבוצה בעל מספר איברים סופי; ראוי להדגיש כי קבוצה זו איננה מהווה שדה, והסיבה לכך תוסבר לאחר הצגתה:

$\mathbb {Z} /10\mathbb {Z} ={\begin{Bmatrix}0{\text{, }}1{\text{, }}\cdots ,9\end{Bmatrix}}$

הסבר:

בצירוף הבא: $\mathbb {Z} /10\mathbb {Z}$ :

• $\mathbb {Z}$ מציין את שדה המספרים השלמים.

• $10\mathbb {Z}$ מציין את הבסיס ("מודולו") של הקבוצה אותה בחרנו.

בדוגמה זו, הבסיס הנו $10$, על כן המספרים הנמצאים בה יהיו $0-9$.

הסבר מדוע קבוצה זו אינה מהווה שדה:

בכל שדה חייב להתקיים התנאי הבא:

• $\left(1\right)$ $a\cdot b=0$ , כאשר מתנאי זה נובע, כי חייב להתקיים בהכרח: או $a=0$ , או $b=0$ .

על פי תנאי זה, אחד האיברים חייב להיות המספר $0$, על פי התנאי לעיל.

אם תנאי זה מתקיים, הרי שזהו שדה; אם לא, הרי שזהו איננו שדה.

• ממבט ראשון, ניתן לקבוע כי קבוצה זו היא אכן שדה, שהרי מתקיים:

$\left(9\cdot 0=0\right)$ , $\cdots$ , $\left(2\cdot 0=0\right)$ , $\left(1\cdot 0=0\right)$ .

אבל, יש כאן נקודה עדינה יותר:

• $\left(2\right)$ אם נמצא בקבוצה מסוימת $a{\text{ }}{\text{mod}}{\text{ }}10\neq 0$ ו- $b{\text{ }}{\text{mod}}{\text{ }}10\neq 0$, המקיימים אף הם את התנאי: $a\cdot b=0$ , הרי שהקבוצה שבחרנו איננה שדה.

• נביט בקבוצה. האם כל מספר בקבוצה, בטווח של: $1\leq a\leq 9$ , ($a$ מספר כלשהו בקבוצה, בין $1$ ו-$9$), ו- $b=0$ ${\text{ }}$ [או להפך: $1\leq b\leq 9$ , ($b$ מספר כלשהו בקבוצה, בין $1$ ו-$9$), ו- $a=0$] ${\text{ }}$ מקיים $a\cdot b=0$ ? התשובה היא כן.

אבל: האם אנו יכולים למצוא בקבוצה צמד מספרים, ששניהם אינם אפס, אך מכפלתם תניב מספר, שאם נחלק אותו ב- $10$, השארית תהיה שווה בכל זאת לאפס?
התשובה היא כן.

• למשל: $5\cdot 2=10$ , ו- $10{\text{ mod }}10=0$.

מצאנו שני מספרים בקבוצה, שאינם אפס, אך המודולו שלהם עודנו שווה אפס, בניגוד למשפט (1), המהווה תנאי הכרחי לקיומו (או אי קיומו, במקרה זה) של שדה. על כן, זהו איננו שדה.

• דוגמה זו מאפשרת לבצע הכללה: אם $a\cdot b=0$ , אבל מתקיים גם: $a{\text{ }}{\text{mod}}{\text{ base }}\neq 0$ וגם $b{\text{ }}{\text{mod}}{\text{ base }}\neq 0$ - הרי שזהו איננו שדה.

נשאלת השאלה, מה יגרום ל: $\left(a\cdot b\right){\text{ mod }}{\text{base}}\neq 0$ ? או, במילים אחרות, מתי $a\cdot b\neq {\text{base}}$ ?

• באופן כללי, עבור כל בסיס (ולמעשה עבור כל מספר), מתקיים: ${\text{base}}{\text{ mod }}{\text{base}}=0$ .

• ידוע כי: אם $a{\text{ }}{\text{mod}}{\text{ base }}\neq 0$ וגם $b{\text{ }}{\text{mod}}{\text{ base }}\neq 0$ , הרי ש: $\left(a\cdot b\right){\text{ }}{\text{mod}}{\text{ base }}\neq 0$ . הדבר הזה מתרחש אך ורק כאשר הבסיס הנו מספר ראשוני.

הסיבה לכך: $a$ וגם $b$ לעולם לא יתחלקו בבסיס הראשוני- ללא שארית. לכן גם: $a\cdot b$ לא יתחלק לעולם בבסיס הראשוני- ללא שארית.

מסקנה

משפט: שדה יכול להיווצר אך ורק אם בסיסו (=מספר איבריו) הוא ראשוני, או חזקה של מספר ראשוני.

גישה אינטואיטיבית, לצורך הבנת המסקנה

נסמן את הבסיס הראשוני באות $p$ , רמז למילה: "Primary".

• באופן כללי, השדה ייכתב כך: $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ={\begin{Bmatrix}0{\text{, }}1{\text{, }}\cdots ,{\text{(p-1)}}\end{Bmatrix}}$ .

• דוגמה לשדה כזה:

נבחר $p=7$, כאשר ידוע כי $7$ הנו מספר ראשוני.

השדה ייראה כך: $\mathbb {Z} /7\mathbb {Z} ={\begin{Bmatrix}0{\text{ , }}1{\text{ , }}2{\text{ , }}3{\text{ , }}4{\text{ , }}5{\text{ , }}6\end{Bmatrix}}$

כעת, נבדוק שני תנאים:

• האם כל $1\leq a\leq 6$ , המוכפל ב- $b=0$ - תוצאתו היא $a\cdot b=0$ ? התשובה היא כן.
• האם ישנו מספר כלשהו $a$ בקבוצה, המתחלק ב- $p=base=7$ ללא שארית? התשובה היא לא.
  

אם אף מספר אינו מקיים דרישה כזו, הרי שמכפלה של שני מספרים כלשהם בקבוצה- אף היא אינה מתחלקת ב- $p=base=7$ ללא שארית!

זוהי ההוכחה (האינטואיטיבית) לכך, שקבוצה בעלת בסיס שהוא מספר ראשוני- הנה שדה.

• השדה $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ מכונה: $\mathbb {F} _{p}$ .

הוכחה מתמטית פורמלית של המשפט: סדר השדה הוא מספר ראשוני (מקרה מספר 1)

• משפט: כל שדה סופי הנו בעל סדר ראשוני, או בעל סדר, שהוא חזקה של מספר ראשוני.

זוהי ההוכחה, שעליי להבין ולהסביר: (כתיבה ואחר כך הבנה, בשיטת "נעשה ונשמע")

עבור כל חוג קומוטטיבי $R$ , קיים הומומורפיזם חוגי (הומומורפיזם של חוג) ייחודי: $Z\rightarrow R$ , המתואר על ידי:

$m\mapsto {\begin{cases}\underbrace {1+1+\cdots +1} _{\text{m times}}&{\mbox{if }}m\geq 0{\mbox{ }}\\\\\underbrace {-\left(1+1+\cdots +1\right)} _{\text{(absolute value of m) times}}&{\mbox{if }}m<0{\mbox{ }}\end{cases}}$

ניישם הומומורפיזם חוגי זה למקרה: $R=F$ , כאשר $F$ הנו שדה סופי.

הגרעין של $Z\rightarrow F$ איננו אפס, מאחר ש: $Z$ הנו אינסופי, בעוד ש $F$ הנו סופי.

נכתוב את הגרעין כ: $\left(m\right)=mZ$ עבור מספר שלם $m>0$ ,

כך ש: $Z/\left(m\right)$ מהווה שיכון. שיכון זה הנו (או: המשמש כ) תת חוג של $F$ (או: מהווה שיכון לתת חוג של $F$) (באנגלית: Z/(m) embeds as a subring of F).

ידוע כי: כל תת חוג של שדה הנו שיכון (domain).

מכאן נובע, כי $m$ חייב להיות, בהכרח, מספר ראשוני.

נקרא למספר הראשוני הזה, שרירותית, בשם: $m=p$ .

מכאן נובע, כי קיים שיכון $Z/\left(p\right)\hookrightarrow F$ .

אם נסתכל על $F$ כמרחב וקטורי מעל $Z/\left(p\right)$ ,

אזי מרחב זה הנו בעל ממד סופי, מאחר ש: $F$ הנו שדה סופי.

יהי $n=dim_{z/\left(p\right)}\left(F\right)$ .

נבחר בסיס שרירותי: $\left\{e_{1},\cdots ,e_{n}\right\}$ עבור השדה $F$ , מעל $Z/\left(p\right)$ ,

איברי $F$ יכולים להיכתב באופן ייחודי כ:

$c_{1}\cdot e_{1}+\cdots +c_{n}\cdot e_{n}{\text{ ,}}\quad {}c_{i}\in Z/\left(p\right)$

לכל מקדם $C_{i}$ קיימות $p$ בחירות/אופציות (choices),

על כן: $\left|F\right|=p^{n}$ .

מ.ש.ל.

חזרה לפסקה: דרישות קדם לצורך הוכחת המשפט בפסקה:.

הוכחת המשפט, שסדר של שדה עשוי להיות חזקה של מספר ראשוני (מקרה מספר 2)

• משפט: נניח $p$ מספר ראשוני, $m$ הוא מספר שלם (טבעי?^{[דרושה הבהרה]}

) חיובי, ו- $q=p^{m}$ . אז קיים (עד איזומורפיזם) שדה אחד בדיוק, $\mathbb {F} _{q}=\mathbb {F} _{p^{m}}=GF(p^{m})$, בו קיימים $p^{m}$ איברים.

בניית שדות סופיים

• האם סדר השדה שווה בהכרח למאפיין השדה?^{[דרושה הבהרה]}

בניית שדות סופיים באמצעות פולינומים

משפט (מקרה פרטי של המשפט בפסקה הקודמת. מקרה פרטי זה מתייחס לפולינומים, בפרט עבור פולינומים אי פריקים מתוקנים)תבנית:מקור:

• סדר של שדה סופי $F$ , הוא $p^{m}$ (מכיל $p^{m}$ איברים), כאשר $m$ היא החזקה הגבוהה ביותר בפולינום אי פריק מתוקן, אשר מהווה איבר בתוך שדה סופי זה. (ראה דוגמאות בסעיף הבא).

הוכחה:

${\displaystyle }$

פולינומים אי פריקים, פולינומים מתוקנים ופולינומים פרימיטיביים- דוגמאות לשם המחשה

• משפט:

עבור מספר ראשוני $p$, ופולינום אי פריק מתוקן $\pi \left(x\right)$, הנמצא בתוך שדה סופי (או: השייך לשדה) שנסמנו: $F_{p}[x]$, בעל דרגה (או סדר) $n$ - מהווה החוג: $F_{p}[x]/\left(\pi \left(x\right)\right)$ שדה בעל דרגה (או סדר) $p^{n}$ .

• בתחילה, נציג מספר דוגמאות לשדות כאלו, לשם הבנה אינטואיטיבית של המושגים:

דוגמה ראשונה:

שני שדות מסדר $8$ הם:

• $\underbrace {F_{2}\left[x\right]} _{\text{p=2}}/\underbrace {\left(x^{3}+x+1\right)} _{\text{n=ord(polynomial)=3}}$ ,
  
  
• $\underbrace {F_{2}\left[x\right]} _{\text{p=2}}/\underbrace {\left(x^{3}+x^{2}+1\right)} _{\text{n=ord(polynomial)=3}}$ .
  
  
• הסיבה לכך שסדר השדות הנו $8$ היא:
  $p=2{\text{ , }}n=3\Rightarrow ord\left(F\right)=p^{n}=2^{3}=8$ .

דוגמה שנייה:

שני שדות מסדר $9$ הם:

• $\underbrace {F_{3}\left[x\right]} _{\text{p=3}}/\underbrace {\left(x^{2}+1\right)} _{\text{n=ord(polynomial)=2}}$ ,
  
  
• $\underbrace {F_{3}\left[x\right]} _{\text{p=3}}/\underbrace {\left(x^{2}+x+2\right)} _{\text{n=ord(polynomial)=2}}$ .
  
  
• הסיבה לכך שסדר השדות הנו $9$ היא:
  $p=3{\text{ , }}n=2\Rightarrow ord\left(F\right)=p^{n}=3^{2}=9$ .

דוגמה שלישית:

הפולינום: $x^{3}-2$ הוא אי פריק ב- $F_{7}\left[x\right]$ , על כן $F_{7}\left[x\right]/\left(x^{3}-2\right)$ הוא שדה בעל סדר: $7^{3}=343$ .

הערות:

1. מבנים אלו הם שדות, למרות שהסדר שלהם איננו ראשוני. המבנים נוצרים בדרך שונה מהדרך המקובלת, הגורסת שאם סדר של קבוצה כלשהי איננו ראשוני- זהו אינו שדה, כפי שנכתב לעיל.
2. דוגמאות אלו יכולות להוות תרגילים:
   • בשתי הדוגמאות הראשונות אנו מקבלים את סדר השדה, ואנו צריכים למצוא את הפולינומים האי פריקים המתוקנים שלהם.
   • הדוגמה השלישית הפוכה לשתי הדוגמאות הראשונות: אנו מקבלים פולינום אי פריק מתוקן, ואנו צריכים למצוא את סדר השדה.
     
     

• כיצד נמצא פולינומים כאלו, אשר יבנו לנו את השדות הסופיים הרצויים לנו?
  

לשם כך, עלינו להבין שלושה מושגים:

• פולינומים אי פריקים.
• פולינומים מתוקנים.
• פולינומים פרימיטיביים.

פולינומים אי פריקים, פולינומים מתוקנים ופולינומים פרימיטיביים- הסברים

פולינומים מעל שדה גלואה.

פולינומים אי פריקים- הסבר

.

פולינום מוגדר כאי פריק, אם הוא לא יכול להיות מפושט לפולינומים לא טריוויאליים- מעל אותו השדה.

• דוגמה:

בשדה הפולינומים הרציונליים $\mathbb {Q} \left[x\right]$ (כלומר, פולינומים $f\left(x\right)$ , בעלי מקדמים רציונליים (בכל איבריהם? או רק חלק?^{[דרושה הבהרה]}

)), נאמר שהפולינום $f\left(x\right)$ הנו אי פריק, אם לא קיימים שני פולינומים, שאינם קבועים, $g\left(x\right)$ ו- $h\left(x\right)$ ב- $x$ , שהם בעלי מקדמים רציונליים, כך שמתקיים: $f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot h\left(x\right)$ .

במילים פשוטות, פולינום אי פריק הנו פולינום, שלא ניתן לכתבו כמכפלה של שני פולינומים (לאו דווקא שונים, למרות שניסוח המשפט אכן מעיד, כביכול, על שני פולינומים שונים: $g\left(x\right)$ ו- $h\left(x\right)$ .
במילים אחרות, פולינום הנו אי פריק, אם הוא לא "מתפרק" למכפלה של שני פולינומים (זהים זה לזה או שונים זה מזה).

• דוגמה מוחשית, הכוללת את משוואת "החלום של פרשמן", המוסברת בפסקה זו:

לשדה הסופי $GF\left(2\right)$ , שייכים (בין היתר, קיימים בו פולינומים נוספים מעבר למוצג בדוגמה) הפולינומים הבאים:

• $x^{2}+x+1$ : זהו פולינום אי פריק מעל שדה זה, כיוון שלא ניתן לכתבו כמכפלה של שני פולינומים. מדוע?^{[דרושה הבהרה]}

• $x^{2}+1$ : זהו פולינום פריק מעל שדה זה, כיוון שמתקיימת בו משוואת "החלום של פרשמן":
  
  $x^{2}+x+1\underbrace {\equiv } _{\text{Freshman's Dream equation}}x^{2}+1{\text{ }}\left(mod{\text{ 2}}\right)$ .

מספר הפולינומים האי פריקים בשדה

באופן כללי, מספר הפולינומים האי פריקים, בעלי סדר $n$ (כלומר, שהחזקה הגבוהה ביותר בפולינום הנה $n$), מעל שדה $GF\left(q\right)$ , נתונה על ידי הנוסחה הבאה:

Necklace Polynomial (פולינום השרשרת?^{[דרושה הבהרה]}

)

$L_{q}\left(n\right)={\frac {1}{n}}\sum _{d|n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)\cdot q^{d}$ ,

כאשר $\mu \left(n\right)$ היא פונקציית מוביוס.

מספר הפולינומים האי פריקים מסדר $n$ , מעל השדה הסופי: $GF\left(2\right)$ , שווה ל:

• מספר השרשראות הא-פריודיות המקובעות (האם זהו התרגום הנכון ל- fixed aperiodic necklaces ?^{[דרושה הבהרה]}

), בעלות $n$ חרוזים (האם זהו התרגום הנכון למילה bead ?^{[דרושה הבהרה]}

), בשני צבעים שונים.

• מספר מילות לינדון בינאריות, בעלות אורך $n$ .

הטבלה הבאה מציגה את הפולינומים האי פריקים ($mod{\text{ 2}}$) , החל מסדר $n=1$ ועד $n=5$ :.

הפולינומים האי פריקים מסדר $n$ מעל השדה הסופי: $GF\left(2\right)$ (עד סדר חמישי)

$n$	פולינומים אי פריקים	מספר הפולינומים האי פריקים עבור סדר זה
$1$	$x$ $1+x$	$2$
$2$	$1+x+x^{2}$	$1$
$3$	$1+x+x^{3}$ $1+x^{2}+x^{3}$	$2$
$4$	$1+x+x^{4}$ $1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}$ $1+x^{3}+x^{4}$	$3$
$5$	$1+x^{2}+x^{5}$ $1+x+x^{2}+x^{3}+x^{5}$ $1+x^{3}+x^{5}$ $1+x+x^{3}+x^{4}+x^{5}$ $1+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}$ $1+x+x^{2}+x^{4}+x^{5}$	$6$

סדרי הפולינומים האפשריים של פולינומים אי פריקים ממעלה $n$ , מעל השדה: $GF\left(2\right)$ רשומים להלן, בסדר עולה:

וולפרם מתמטיקה ->

סדר הפולינומים- משולש להבין ולהסביר את המשולש הזה^{[דרושה הבהרה]}

-> אותו הדבר, רק בטור (חד ממד ולא דו ממד).

מקור נוסף.

${\displaystyle }$

פולינומים מתוקנים

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

פולינומים פרימיטיביים- הסבר

פולינומים מעל שדה גלואה.

• פולינומים פרימיטיביים ושדות גלואה בעלי סדר $p^{m}$