אלגברה לינארית/מבוא לתורת השדות

הגדרת השדה

הגדרה 1: שדה$(\mathbb {F} )$ נוכל להגיד שקבוצה $\mathbb {F}$ היא שדה, אם מוגדרות עליה זוג פעולות, $\cdot _{F},+_{F}$ (להן נקרא פעולות הכפל והחיבור של השדה), שמקיימות את 7 האקסיומות הבאות(קודם אכתוב את האקסיומות, ולאחר מכן אראה מה הכוונה בכל אחת): הקבוצה $\mathbb {F}$ סגורה ביחס לפעולות החיבור והכפל, כלומר אם ניקח זוג איברים מהשדה, $a,b\in \mathbb {F}$ , מתקיים גם $a+_{F}b\in \mathbb {F}$, וגם $a\cdot _{F}b\in \mathbb {F}$, וזאת לכל זוג איברים מהשדה. פעולות הכפל והחיבור מקיימות אסוציאטיביות, כלומר לכל $a,b,c\in \mathbb {F}$, מתקיים $a\cdot _{F}(b\cdot _{F}c)=(a\cdot _{F}b)\cdot _{F}c=$ וגם $a+_{F}(b+_{F}c)=(a+_{F}b)+_{F}c$. פעולות הכפל והחיבור מקיימות קומוטטיביות, לכל $a,b\in \mathbb {F}$, מתקיים $a\cdot _{F}b=b\cdot _{F}a$ וגם $a+_{F}b=b+_{F}a$. קיים ב$\mathbb {F}$ איבר ניטרלי יחיד ביחס לחיבור וביחס לכפל, אותם נסמן $0_{F},1_{F}$ בהתאמה, שמקיימים לכל $a\in \mathbb {F}$, $a+_{F}0_{F}=0_{F}+_{F}a=a$ וגם $a\cdot _{F}1_{F}=1_{F}\cdot _{F}a=a$. האיבר הניטרלי ביחס לחיבור שונה מהאיבר הניטרלי ביחס לכפל, כלומר $1_{F}\not =0_{F}$. הכפל מקיים דיסטריבוטיביות מעל החיבור, כלומר $a\cdot _{F}(b+_{F}c)=a\cdot _{F}b+_{F}a\cdot _{F}c$. לכל איבר $a$ המקיים $a\in \mathbb {F}$, קיים איבר נגדי ביחס לחיבור, כלומר קיים איבר $d\in \mathbb {F}$ שמקיים $a+_{F}d=0_{F}$, וגם קיים איבר הופכי לכפל, כלומר קיים $d\in \mathbb {F}$ המקיים $a\cdot _{F}d=1_{F}$ (וזאת לכל איבר ששונה מאיבר האפס של השדה).

הערה: אפשר לשים לב, ששדה הוא חבורה אבלית ביחס לפעולת החיבור, כך שאיבר האפס שלו הוא האיבר הניטרלי בחבורה,וגם השדה(ללא איבר האפס) הוא חבורה אבלית ביחס לפעולת הכפל, כאשר איבר הניטרלי ביחס לכפל הוא האיבר הניטרלי בחבורה. עוד משהו, הוא ששדה הוא חוג חילופי כאשר $0\not =1$, וכל האיברים פרט לאיבר האפס הפיכים ביחס לכפל.

אוקיי, ובכך סיימנו עם האקסיומות של השדה, אז כרגע אתם יודעים מה הוא שדה, אתן לכם עוד כמה דוגמאות בסיסיות לשדות(בנוסף לאלו שציינתי בהתחלה)

דוגמאות של שדות

• שדה המספרים הממשיים $\mathbb {R}$
• שדה המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$
• שדה המספרים המרוכבים $\mathbb {C}$
• מספרים הניתנים לבנייה

שדה סופי

הגדרה 2: שדה סופי נקרא לקבוצה שדה סופי(או לחלופין, שדה גלואה) אם היא קבוצה סופית, שעליה מוגדרות פעולות כפל וחיבור, המקיימות את אקסיומות השדה. מספר האיברים בשדה סופי נקרא גם הסדר של השדה, ונהוג לסמנו $ord(\mathbb {F} )$.

הדוגמא הקלאסית לשדה סופי היא שדה מודולו $p$ , כאשר $p$ הוא מספר ראשוני(נהוג לסמן שדה זה ב$\mathbb {Z} _{p}$)

משפט 1: יהי $p\geq 2$ מספר טבעי, הקבוצה $\mathbb {Z} _{p}$ מהווה שדה ביחס לפעולות החיבור והכפל מודולו $p$, אם ורק אם $p$ הוא מספר ראשוני.

בכדי להוכיח את המשפט הזה בפשטות יתר, נצטרך להעזר בלמה הבאה:

למה 1 "תהי $A$ קבוצה סופית, ותהי $f$ פונקציה מ$A$ ל$A$, אז $f$ חד חד ערכית אם ורק אם $f$ על."

הוכחה: בלי להגביל את הכלליות, נניח כי מתקיים $A\not =\emptyset$(במקרה שמתקיים $A=\emptyset$ הטענה מתקיימת באופן ריק). בכיוון הראשון, נסמן $|A|=n$ אם $f$ חד חד ערכית, אזי מתקיים $Imf=f(A)$, וכיוון שמתקיים $|Imf|=n$, אזי $f$ על. בכיוון השני, נניח ש$f$ על אבל לא חד חד ערכית, אז יש לפחות $2$ איברים שמתלכדים לאותה התמונה, אבל אז מתקיים $|Imf|\leq n-1$, בסתירה לכך ש$f$ על.

כעת נעבור להוכחת המשפט.

הוכחה: נניח כי $p$ מספר ראשוני, אם נרצה להראות ש$\mathbb {Z} _{p}$ שדה, נצטרך להראות רק שיש לכל איבר השונה מאפס בקבוצה הופכי ביחס לכפל מודולו. נתבונן כעת בפונקציה $f_{n}:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}$, שמוגדרת על ידי $f_{n}(a)=a\cdot _{p}k$ קודם נראה שפונקציה זו היא חד חד ערכית. נניח כי $f_{n}(a)=f_{n}(b)$ כאשר $a,b\in \mathbb {Z} _{p}$ ללא הגבלת הכלליות נניח שמתקיים $a\geq b$ אזי מתקיים $n\cdot _{p}a=n\cdot _{p}b$ ולכן מתקיים $n\cdot _{p}(a-b)=0$, כלומר $p|n\cdot _{p}(a-b)$. כיוון ש$p$ מספר ראשוני, נובע שמתקיים $p|n$ או $p|(a-b)$, אבל אם מתקייים $p|n$ נקבל סתירה, כי הנחנו שמתקיים $0\not =n\in \mathbb {Z} _{p}$ לכן בהכרח מתקיים $n|(a-b)$, אבל לפי ההנחה שלנו מתקיים $0\leq a-b\leq a\leq n$ ולכן בהכרח $a-b=0$, כלומר $a=b$, ולכן הפונקציה $f_{n}$ חד חד ערכית. לפי הלמה שהוכחנו מקודם, הפונקציה $f_{n}$ גם על, ולכן קיים $m\in \mathbb {Z} _{p}$ כך שמתקיים $f_{n}(m)=n\cdot _{p}m=1$, ולכן האיבר $m\in \mathbb {Z} _{p}$ הוא האיבר ההופכי של $n$, ולכן $\mathbb {Z} _{p}$ שדה.

בכיוון ההפוך, נניח ש$\mathbb {Z} _{p}$ שדה, אבל $p$ מספר פריק, לכן אפשר לכתוב אותו בצורה $p=rh$ כאשר מתקיים $1<r,h<p$, השוויון $p=rh$ פירושו שמתקיים $r\cdot _{p}h=0$, ולכן בשדה $\mathbb {Z} _{p}$ יתקיים $rh=0$ אבל כיוון שמתקיים $1<r,h<p$ בשדה $\mathbb {Z} _{p}$ מתקיים $r,h\not =0$, ולכן קיבלנו סתירה.