אלגברה לינארית/מטריצות דומות

הגדרה 7.2: דימיון של מטריצות יהי $\mathbb {F}$ שדה, ו $K,L\in M_{n\times n}\left(\mathbb {F} \right)$. אומרים כי $L$ דומה ל$K$ כאשר קיימת $P\in M_{n\times n}\left(\mathbb {F} \right)$ הפיכה כך ש $L=P^{-1}\cdot K\cdot P$.

תכונות

• הדמיון רפלקסיבי כלומר כל מטריצה דומה לעצמה.
• דמיון הוא סימטרי. כלומר, אם $L$ דומה ל-$K$, אז $K$ דומה ל-$L$.

הוכחה: נסמן $Q=P^{-1}$.

נכפול ב$Q$ מצד ימין וב$Q^{-1}=P$ מצד שמאל :$Q^{-1}{\boldsymbol {L}}Q=Q^{-1}P^{-1}{\boldsymbol {K}}PQ\overbrace {=} ^{*}I_{n}\cdot K\cdot I_{n}=K$

(*) מפני ש$Q^{-1}P^{-1}$ ו-$PQ$ הפוכות זו לזו.

• דמיון הוא טרנזטיבי. כלומר, אם A דומה ל-B ו-B דומה ל-C אז A דומה ל-C.