תורת הבקרה/קריטריון ראוט

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
General closed loop feedback system.svg

כזכור, יציבות של מערכת תלויה במיקום קטבי פונקצית התמסורת בחוג פתוח GOL, אשר במקרה הכללי המופיע באיור שווה ל: \ G_{OL}={C\over R}={G\over 1+GH}. לרוב, מציאת שורשי הפולינום האופייני יהיו טרחה רבה[1]. כאן נכנס לתמונה קריטריון ראוט ליציבות, אשר דורש לדעת רק את מקדמי הפולינום האופייני (הפולינום האופייני הוא המכנה[2] של GOL).

קריטריון ראוט נקרא לעתים גם קריטריון ראוט-הורוביץ.

תוכן עניינים

[עריכה] הקריטריון

נכתוב את הפולינום האופייני בצורה[3]:

\ a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0

(ניתן לצמצם את כל המשואה במקדם של sn מכיוון שאינו משפיע על התוצאה, ואז an=1)

  • שלב א: אם קיים לפחות מקדם אחד \ a_i,\ i=1..n שלילי או שווה ל-0 אז למערכת יש קוטב בחצי המישור הימני או על הציר המדומה ולכן המערכת אינה יציבה או בגבול היציבות. שימו לב כי זהו תנאי הכרחי אך לא מספיק[4] ולכן במידת הצורך יש להמשיך לשלב הבא.
  • שלב ב: רושמים את מקדמי הפולינום האופייני בשתי השורות הראשונות בטבלה באופן הבא:
\ \begin{matrix} \underline{s^n}: & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} & \cdots \\ \underline{s^{n-1}}: & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \cdots \\ \underline{s^{n-2}}: & b_1 & b_2 & b_3 & \cdots \\ \underline{s^{n-3}}: & c_1 & c_2 & c_3 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots \\ \underline{s^1}: & . & . & . & \cdots \\ \underline{s^0}: & . & . & . & \cdots \end{matrix}
  • אם מעלת הפולינום היא זוגית, השורה הראשונה תכיל את כל המקדמים הזוגיים והשורה השנייה את כל המקדמים האי-זוגיים.
  • אם מעלת הפולינום היא אי-זוגית, השורה הראשונה תכיל את כל המקדמים האי-זוגיים והשורה השנייה את כל המקדמים הזוגיים.
  • את שאר המקדמים מחשבים באמצעות כלל המזכיר את חוקיות הדטרמיננט (מחלקים תמיד באיבר שבעמודה הראשונה, וכל שורה תלויה בשתי השורות שלפניה):
  • \ b_1=\frac{a_{n-1}a_{n-2}-a_na_{n-3}}{a_{n-1}}= a_{n-2}-a_n{a_{n-3}\over a_{n-1}}
  • \ b_2=a_{n-4}-a_n{a_{n-5}\over a_{n-1}}
  • \ c_1=a_{n-3}-b_2{a_{n-1}\over b_1}
  • \ c_2= a_{n-5}-b_3{a_{n-1}\over b_1}
(ניתן לחלק שורת ראוט במספר חיובי מבלי לשנות את התוצאה)
  • ממשיכים לחשב איברים עד אשר מופיעה שורה עם אפסים בלבד (זה יקרה בשורה ה-n+1). העמודה הראשונה (השמאלית) נקראת עמודת ראוט ומספר השורשים בחצי המישור הימני שווה למספר החלפות הסימן בעמודת ראוט. כלומר המערכת יציבה אם כל איברי עמודת ראוט הינם חיוביים.

[עריכה] דוגמאות

(להשלים)

{{{גודל}}}

כדאי לדעת:

הערכים הקיצוניים של ההגבר הם נקודות החיתוך של עקום Root-Locus עם הציר המדומה, ושל עקום נייקוויסט עם הציר הממשי.



[עריכה] מקרים מיוחדים

[עריכה] אפס בעמודת ראוט

  • דרך א: במקרה זה מציבים ε>0 במקום אפס ומשאיפים בסוף לאפס.
  • דרך ב: כופלים את המשוואה האופיינית בגורם מהצורה (s+a) כאשר a>0 (לרוב a=1 יהיה טוב) ומוצאים את עמודת ראוט. מאחר והגורם הנוסף מוסיף קוטב ב-OLHP, כל שורש ב-ORHP מקורו בפונקציה המקורית. שימו לב: יש לוודא שלא קיים כבר במשוואה גורם מהצורה (s-a), אחרת חישוב היציבות יופרע[5].

[עריכה] דוגמאות

(להשלים)

[עריכה] שורת אפסים בטבלה

מצב זה מתרחש כאשר קיימים שני שורשים ממשיים נגדיים או כאשר קיים זוג שורשים מרוכבים-צמודים (לרוב מדומה טהור). במקרה זה גוזרים את השורה האחרונה שאינה אפס ומציבים את המקדמים שהקבלו לטבלה, וממשיכים בחישובים.

[עריכה] דוגמאות

(להשלים)

[עריכה] יציבות יחסית

לעתים יש לדעת עד כמה קרובים הקטבים לאי-יציבות, וניתן לעשות זאת ללא מציאת הקטבים על ידי קריטריון ראוט. היציבות נמדדת יחסית לציר \ s=-\beta,\ \beta\ge 0 ולכן נקראת יציבות יחסית. למעשה מתבצעת טרנספורמציה לינארית של המשתנה s, כך ש: \ s=s'-\beta. כלומר כל מה שיש לעשות זה להציב בטבלה את ההזזה הנ"ל ולפתור כרגיל.

בדרך זו ניתן גם לבדוק (תוך מיספר איטרציות) בין אילו שתי קוארדינטות נמצאים הקטבים (אם בכלל): אם המערכת יציבה יחסית ל-0 אך אינה יציבה יחסית ל-β אז מספר החלפות הסימן בעמודת ראוט הוא מספר הקטבים בתחום [0,β].

[עריכה] דוגמאות

(להשלים)

[עריכה] ראו גם

[עריכה] קישורים חיצוניים

ויקיפדיה ערך בוויקיפדיה: קריטריון ראוט-הורוביץ (אנגלית)

[עריכה] הערות

  1. ↑ למעשה, לפולינום ממעלה 5 ומעלה לא קיים פתרון אנליטי.
  2. ↑ המכנה הוא אמנם 1+GH, אך כשנשווה אותו לאפס יתקבל לבסוף פולינום ב-s. פולינום זה הוא הפולינום האופייני.
  3. ↑ שוב, מניחים כי פונקצית התמסורת היא מנת פולינומים מצומצמים (מה שנקרא proper)
  4. ↑ עבור מערכת מסדר 1 או 2 תנאי זה הוא הכרחי ומספיק.
  5. ↑ ניתן לבדוק זאת על ידי הצבת s=a. במידה ומתקבל 0 יש לבחור ערך a אחר.

מקור: http://he.wikibooks.org/wiki/%D7%AA%D7%95%D7%A8%D7%AA_%D7%94%D7%91%D7%A7%D7%A8%D7%94/%D7%A7%D7%A8%D7%99%D7%98%D7%A8%D7%99%D7%95%D7%9F_%D7%A8%D7%90%D7%95%D7%98