מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

כדאי לדעת: בכדי להבין נושא זה יש לדעת את נושא גרף - תחום חיוביות שליליות המופיע בפרק הצגה גרפית של פונקציה - תחום חיוביות שליליות. רצוי גם, לדעת את נושא עליה וירידה

תוכן עניינים 1 הקדמה 2 קשר בין פונקציה לנגזרת הראשונה שלה 3 קשר בין פונקציה לנגזרת שנייה 4 קשר בין נגזרת ראשונה לנגזרת שנייה 5 כללים ליצירת טבלה 6 דוגמא 6.1 תחומי עלייה ירידה

[עריכה] הקדמה

נושא זה דן על הקשר בין גרף של פונקציה לגרף של הנגזרת שלה או הנגזרת השנייה שלה. עד כה נתנו לנו שאלות בהן קבלנו נתונים. בשאלות מסוג "התנהגות פונקציה", אנו נקבל גרף, ממנו עלינו להוציא נתונים בעזרתם נבנה גרף חדש. כאשר מקבלים גרף יש ליצור טבלה. הטבלה תראה כך :

X	הצבת X של הנקודות הנתונות
y	פונקציה עולה/יורדת על פי ההסברים שיופיעו בהמשך
y' – אם מדובר על הקשר שלו לפונקציה	שיבוץ נתונים
y – אם מדובר על הקשר שלו לפונקציה	שיבוץ נתונים

[עריכה] קשר בין פונקציה לנגזרת הראשונה שלה

ניתן גרף של נגזרת או פונקציה. בדרך כלל, גרף של נגזרת. הכללים :

1. כשהנגזרת שלילית (הנקודה נמצאת מתחת ציר ה-X) – פונקציה יורדת.
2. כשהנגזרת שווה לאפס – נקודת קיצון או פיתול ; תלוי בשיפוע (עליה לעליה או ירידה לירידה – פיתול, ירידה לעליה או עליה לירידה – נקודת קיצון).
3. כשנגזרת חיובית (הנקודה נמצאת מעל ציר ה-X) – פונקציה עולה.

הטבלה תראה כך :

X	X1	X2	X3
y	פונקציה עולה	נקודת קיצון	פונקציה יורדת
y'	+ (הנקודה מעל ציר ה-X)	0	- (הנקודה מתחת לציר ה-X)

[עריכה] קשר בין פונקציה לנגזרת שנייה

1. כשהנגזרת שלילית (הנקודה מתחת ציר ה-X) – פונקציה עולה.
2. כשהנגזרת השנייה שווה לאפס – נקודת קיצון (מעבר בין עליה לירידה או ירידה לעליה) או פיתול (נגזרת ראשונה ושנייה שווים לאפס או מעבר מעליה לעליה או מירידה לירידה).
3. כשנגזרת חיובית (נקודת נמצאת מעל ציר ה-X)– פונקציה יורדת.

אם אנו מדברים על אותה פונקציה הטבלה תראה כך :

X	X1	X2	X3
y	פונקציה יורדת	נקודת קיצון	פונקציה עולה
y'	+ (הנקודה מעל ציר ה-X)	0	- (הנקודה מתחת ציר ה-X)

[עריכה] קשר בין נגזרת ראשונה לנגזרת שנייה

נגזרת שנייה היא נגזרת ראשונה של נגזרת הפונקציה, לכן, חלים עליה אותם כללים של נגזרת :

1. כשהנגזרת (השנייה) שלילית – פונקציה (נגזרת ראשונה) יורדת.
2. כשהנגזרת (השנייה) שווה לאפס – נקודת קיצון או פיתול (עבור נגזרת ראשונה!); תלוי בשיפוע (עליה לעליה או ירידה לירידה – פיתול, ירידה לעליה או עליה לירידה – נקודת קיצון).
3. כשנגזרת (השנייה) חיובית – פונקציה (נגזרת ראשונה) עולה.

כדאי לדעת: נקודת קיצון של נגזרת ראשונה מבטא מעבר מירידה לעליה או מעליה לירידה. אין הרבה נתונים בשאלות כאלה, ולכן, בדרך כלל, נהוג לצייר את הגרף של נגזרת שנייה באמצעות פונקציה ליניארית (עולה או יורדת) על אף שאין זה מחייב שהפונקציה תראה כך

[עריכה] כללים ליצירת טבלה

1. סידור ה-X בטבלה על פי הסדר שמתואר.
2. רשימת Y באופן הבא - הנתונים שיופיעו בטבלה יהיו על פי Y של הנקודה כאשר בסורגיים נרשום :
   • נקודת קיצון.
   • עליה/ירידה.
   • נקודה מעל/מתחת ציר ה-X.

[עריכה] דוגמא

X	2-	1-	0	1	2	3
Y	עולה	נקודת קיצון	יורדת	נקודת קיצון	עולה	עולה

[עריכה] תחומי עלייה ירידה

עליה :

1. − 2 < x < − 1 - הנקודה בגרף y' נמצאת מעל ציר ה-X.
2. X > 1 - הנקודה בגרף 'y נמצאת מעל ציר ה-X.

ירידה : − 1 < x < 1 - הנקודה בגרף y' נמצאת מתחת ציר ה-X.

על פי הכללים :

X	2-	1-	0	1	2	3
Y	עולה	נקודת קיצון	יורדת	נקודת קיצון	עולה	עולה
'Y	הנקודה בגרף 'y נמצאת מעל ציר ה-X	0	הנקודה בגרף 'y נמצאת מתחת ציר ה-X	0	הנקודה בגרף 'y נמצאת מעל ציר ה-X	הנקודה בגרף 'y נמצאת מעל ציר ה-X

כפי שניתן לראות בתמונה :

1. החלק הראשון של הנגזרת נמצא מעל ציר ה-X
2. הפונקציה נחתכת בציר ה-X בנקודת הקיצון של הפונקציה (0,-1)
3. חלק שלישי – נמצאת מתחת לציר ה-X (בטווח 0>x<1)
4. חלק רביעי – שוב נחתך עם בציר בנקודות הקיצון של הפונקציה (0,1)
5. חלק חמישי – נמצאת מעל ציר ה-X.