מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
חישוב שטח בין פונקציה לציר ה-
x
{\displaystyle x}
[ עריכה ]
S
=
|
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
|
{\displaystyle S={\Bigg |}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx{\Bigg |}}
לחץ כאן מה אנחנו צריכים בשביל להשתמש בנוסחא? [ עריכה ] תחום מסוים אותו נמצא על-פי: נקודות חיתוך בין פונקציות , נקודות חיתוך עם צירים , נקודות קיצון ועוד.
השטח יכול להימצא מעל/מתחת לציר ה-
x
{\displaystyle x}
[ עריכה ] חשוב לזהות את השטח של פונקציות שונות בכדי להפנים שהשטח יכול להימצא גם מעל וגם מתחת לצירים . כפי שניתן לראות בתמונות.
חשוב לשים לב, שלכל פונקציה הנמצאת מעל ומתחת לציר ה-
x
{\displaystyle \ x}
.
לנתון זה תהיה חשיבות רבה, כאשר נרצה לחשב שטח הכלוא בין שתי פונקציות וציר ה-
x
{\displaystyle x}
אופן החישוב יתבצע באותו אופן. אין הבדל באופן החישוב כאשר הפונקציה נמצאת מתחת לציר ה-
x
{\displaystyle x}
ערך מוחלט ההבדל בין שטח הנמצא מעל ומתחת לציר ה-
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
בחישוב יחיד . מול חישוב השטחים בשני חישובים נפרדים . הסיבה נעוצה בכך שבחישוב יחיד, קטן גודל השטח עקב הסימנים השונים, פלוס ומינוס. ואילו בשני חישובים, הסימנים הנגדיים משתנים לסימן יחיד, פלוס עקב שימוש ב"ערך מוחלט".
f
(
x
)
=
x
2
−
10
{\displaystyle f(x)=x^{2}-10}
x
{\displaystyle x}
−
5
<
x
<
5
{\displaystyle -5<x<5}
∫
−
5
5
(
x
2
−
10
)
d
x
=
x
3
3
−
10
x
+
C
[
(
−
5
)
3
3
−
10
⋅
(
−
5
)
]
−
[
5
3
3
−
10
⋅
5
]
[
−
125
3
+
50
]
−
[
125
3
−
50
]
−
125
3
+
50
−
125
3
+
50
S
=
100
−
250
3
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{-5}^{5}(x^{2}-10)dx={\frac {x^{3}}{3}}-10x+C\\&{\bigg [}{\frac {(-5)^{3}}{3}}-10\cdot (-5){\bigg ]}-{\bigg [}{\frac {5^{3}}{3}}-10\cdot 5{\bigg ]}\\&{\bigg [}{\frac {-125}{3}}+50{\bigg ]}-{\bigg [}{\frac {125}{3}}-50{\bigg ]}\\&-{\frac {125}{3}}+50-{\frac {125}{3}}+50\\&S=100-{\frac {250}{3}}\\\end{aligned}}}
נחשב את השטח הנמצא בין הפונקציה
f
(
x
)
=
x
2
−
10
{\displaystyle f(x)=x^{2}-10}
x
{\displaystyle x}
−
5
<
x
<
0
{\displaystyle -5<x<0}
0
<
x
<
5
{\displaystyle 0<x<5}
זהה את השטח שבין הפונקציה לבין ציר ה-
x
{\displaystyle x}
סמן את השטח הכלוא בין ציר ה-
x
{\displaystyle x}
לפונקציה
פתרונות
1.
2.
מצא את השטח
S
{\displaystyle S}
x
{\displaystyle x}
1
x
2
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}
x
=
−
1
,
x
=
1
{\displaystyle x=-1,x=1}
פתרון
נבצע אינטגרציה לפונקציה
1
x
2
3
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}
S
=
∫
−
1
1
d
x
x
2
3
=
∫
−
1
1
x
−
2
3
⋅
d
x
=
x
−
2
3
+
1
−
2
3
+
1
|
−
1
1
=
x
1
3
1
3
|
−
1
1
=
3
x
3
|
−
1
1
{\displaystyle S=\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}=\int \limits _{-1}^{1}x^{-{\frac {2}{3}}}\cdot dx={\frac {x^{-{\frac {2}{3}}+1}}{-{\frac {2}{3}}+1}}{\Bigg |}_{-1}^{1}={\frac {x^{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}{\Bigg |}_{-1}^{1}=3{\sqrt[{3}]{x}}{\Bigg |}_{-1}^{1}}
נציב את התחום:
S
=
3
x
3
|
−
1
1
=
3
1
3
−
3
−
1
3
=
3
−
(
−
3
)
{\displaystyle S=3{\sqrt[{3}]{x}}{\Bigg |}_{-1}^{1}=3{\sqrt[{3}]{1}}-3{\sqrt[{3}]{-1}}=3-(-3)}
S
=
6
{\displaystyle S=6}
השטח מעל ומתחת לצירים
גם מעל לציר וגם מתחת לציר יש שטח כלוא!
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{-5}^{5}(x^{2}-10)dx={\frac {x^{3}}{3}}-10x+C\\&{\bigg [}{\frac {(-5)^{3}}{3}}-10\cdot (-5){\bigg ]}-{\bigg [}{\frac {5^{3}}{3}}-10\cdot 5{\bigg ]}\\&{\bigg [}{\frac {-125}{3}}+50{\bigg ]}-{\bigg [}{\frac {125}{3}}-50{\bigg ]}\\&-{\frac {125}{3}}+50-{\frac {125}{3}}+50\\&S=100-{\frac {250}{3}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03cfd2faba5b8b59d4b670d957a73707e023f0d3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\color {blue}\int \limits _{-5}^{0}(x^{2}-10)dx}={\frac {x^{3}}{3}}-10x+C\\&{\bigg [}{\frac {(-5)^{3}}{3}}-10\cdot (-5){\bigg ]}-{\bigg [}{\frac {0^{3}}{3}}-10\cdot 0{\bigg ]}\\&{\bigg [}-{\frac {125}{3}}+50{\bigg ]}-0\\&\color {blue}-{\frac {125}{3}}+50\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d61ba685fa331c8537ed189cfeb809ae94c2644)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\color {green}\int \limits _{0}^{5}(x^{2}-10)dx}={\frac {x^{3}}{3}}-10x+C\\&{\bigg [}{\frac {0^{3}}{3}}-10\cdot 0{\bigg ]}-{\bigg [}{\frac {5^{3}}{3}}-10\cdot 5{\bigg ]}\\&0-{\bigg [}{\frac {125}{3}}+50{\bigg ]}\\&-{\frac {125}{3}}-50\\&\color {green}{\frac {125}{3}}+50\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5cda763be4b870935bd2e2bd2d5e26c153f2c6)
סמן את השטח הכלוא בין ציר ה- לפונקציה
סמן את השטח ברביע הראשון
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7cd6434cd1dada74727c8f9a6764525e0ff43b3)
![{\displaystyle S=\int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}=\int \limits _{-1}^{1}x^{-{\frac {2}{3}}}\cdot dx={\frac {x^{-{\frac {2}{3}}+1}}{-{\frac {2}{3}}+1}}{\Bigg |}_{-1}^{1}={\frac {x^{\frac {1}{3}}}{\frac {1}{3}}}{\Bigg |}_{-1}^{1}=3{\sqrt[{3}]{x}}{\Bigg |}_{-1}^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad15bedd30b1702a4d6afa63103e4695f0140641)
![{\displaystyle S=3{\sqrt[{3}]{x}}{\Bigg |}_{-1}^{1}=3{\sqrt[{3}]{1}}-3{\sqrt[{3}]{-1}}=3-(-3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89c51f13f8fd81b7941e0170d6ea638c82c3a2fe)
