מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/חשבון במספרים מרוכבים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | מספרים מרוכבים

לאחר שהגדרנו את המספרים המרוכבים, אנחנו רוצים להיות מסוגלים לבצע את פעולות החשבון הבסיסיות על המספרים המרוכבים, בדומה לעבודה על מספרים ממשיים. לשם כך עלינו להיות מסוגלים לחבר, לחסר, לכפול ולחלק.

[עריכה] חיבור וחיסור

החיבור והחיסור הן פעולות פשוטות: די לחבר/לחסר את החלק הממשי והחלק המדומה של המספרים בנפרד. דוגמא לפעולת חיבור:

$\ (5+3i)+(7+2i)=(5+7)+(3+2)i=12+5i$ .

כל מה שעשינו כאן היה לשנות את סדר הסכימה ולהוציא גורם משותף $\ i$ מהחלקים המדומים של המספרים.

פעולת החיסור זהה לחלוטין, משום שהיא שקולה לחיבור עם המספר הנגדי. דוגמא לפעולת חיסור:

$\ (5+3i)-(7+2i)=(5-7)+(3-2)i=-2+i$ .

באופן כללי, חיבור של שני מספרים מרוכבים מתבצע כך:

$\ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ .

[עריכה] כפל

כפל מסובך מעט יותר מחיבור וחיסור. לביצוע פעולת הכפל נשתמש בכללי הכפל הרגילים עבור מספרים ממשיים, ובשוויון $\ i^2=-1$ .

ראשית נזכור כי עבור מספרים ממשיים מתקיים $\ (a+b)\cdot(c+d)=ac+ad+bc+bd$ .

תכונה זו נובעת מחוק הפילוג.

כעת נעשה את אותו הדבר בדיוק, עבור שני מספרים מרוכבים:

$\ (a+bi)(c+di)=ac+bi\cdot c+adi+bi\cdot di=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i$ .

וזוהי הצורה הכללית של כפל שני מספרים מרוכבים.

להלן כמה דוגמאות:

$\ (1+3i)\cdot 5=5+15i$
$\ (2+3i)(4i)=8i+12i^2=-12+8i$
$\ (4+2i)(-3+3i)=-12+12i-6i+6i^2=-12-6+12i-6i=-18+6i$

[עריכה] חילוק

חילוק היא הפעולה ההפוכה לכפל. לכן ניתן להציג כל פעולת חילוק כפעולת כפל, ואנחנו כבר יודעים לבצע פעולות כפל. הבעיה היא שלא פשוט למצוא את האיבר בו אנו אמורים לכפול.

למשל, כדי לחשב את המנה $\ \frac{3+2i}{4+i}$ אנחנו בעצם מחשבים את המכפלה $\ (3+2i)\cdot\frac{1}{4+i}$ , אך לא מיידי למצוא הצגה למספר $\ \frac{1}{4+i}$ שתתאים להצגה של המספרים המרוכבים שאיתה אנו עובדים: $\ a+bi$ . במילים אחרות, אנחנו רוצים להיפטר מהסכום שבמכנה.

כדי לעשות זאת אנחנו משתמשים ב"תעלול" שמשמש אותנו גם כאשר אנחנו רוצים לסלק שורשים מהמכנה: אנחנו כופלים ומחלקים את המספר במספר אחר. בצורה זו ערכו של המספר לא משתנה (כי כפלנו אותו ב-1) אך צורתו משתנה. נראה זאת בדוגמה שלנו:

$\ \frac{1}{4+i}=\frac{1}{4+i}\cdot\frac{4-i}{4-i}=\frac{4-i}{(4+i)(4-i)}=\frac{4-i}{16-4i+4i-i^2}=\frac{4-i}{16+1}=\frac{4}{17}-\frac{1}{17}i$

קיבלנו מספר מרוכב מהצורה שאנו מחפשים. אמנם, עדיין מופיעים בו שברים, אך המספר עצמו הוא מהצורה $\ a+bi$ ואין בו סכום במכנה.

כעת ניתן לסיים את פעולת החילוק שהתחלנו בה:

$\ (3+2i)\cdot\frac{1}{4+i}=(3+2i)\cdot(\frac{4}{17}-\frac{1}{17}i)=\frac{12}{17}+\frac{2}{17}+\frac{8i}{17}-\frac{3i}{17}=\frac{14}{17}+\frac{5}{17}i$

כעת ננסה להבין למה בחרנו דווקא את המספר $\ \frac{4-i}{4-i}$ כדי לכפול בו את השבר שלנו.

המטרה שלנו הייתה להיפטר מהסכום במכנה. לשם כך היה עלינו להיפטר מהמספר המדומה $\ i$ שהופיע בו. התבססנו על כך ש- $\ i^2=-1$ , כלומר העלאה בריבוע של המספר המדומה תעלים אותו.

כלומר, באופן כללי, אם יש לנו מספר $\ a+bi$ ואנחנו רוצים לדעת באיזה מספר ניתן לכפול אותו ולקבל מספר ממשי, נבחר מספר כזה שיעלים את כל המופעים של i.

ניזכר בנוסחה מוכרת במספרים ממשיים: $\ (a+b)(a-b)=a^2-b^2$ . נוסחה זו עובדת בצורה דומה גם במספרים מרוכבים:

$\ (a+bi)(a-bi)=a^2-b^2\cdot i^2=a^2+b^2$ .

אם כך, הכפלה של המספר $\ a+bi$ במספר $\ a-bi$ תחזיר לנו תמיד מספר ממשי, ולכן זהו המספר שבו נשתמש כדי להיפטר מהסכום שבמכנה.

למספר $\ a-bi$ חשיבות רבה; הוא מכונה הצמוד של $\ a+bi$ ועל תכונותיו נעמוד בפרק הבא.

הפרק הקודם:
הגדרת המספרים המרוכבים

חשבון במספרים מרוכבים
תרגילים

הפרק הבא:
הצמוד המרוכב והערך המוחלט

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/חשבון במספרים מרוכבים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

[עריכה] חיבור וחיסור

[עריכה] כפל

[עריכה] חילוק

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא