מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הגדרת המספרים המרוכבים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | מספרים מרוכבים

תוכן עניינים

1 המטרה
2 תכונות בסיסיות
3 פתרון משוואות באמצעות מספרים מרוכבים

[עריכה] המטרה

קבוצת המספרים הממשיים משמשת אותנו רבות במתמטיקה, אך היא מוגבלת במובן מסויים, שכן לא לכל משוואה פולינומיאלית במספרים ממשיים יש פתרון. הדוגמה הבולטת היא המשוואה הבאה:

$\ x^2+1=0$

זוהי משוואה בלתי פתירה. אחרי העברת אגפים והוצאת שורש נקבל:

$\ x=\sqrt{-1}$

בקבוצת המספרים הממשיים אין שורש למספר $\ -1$ , כי העלאה בריבוע של כל מספר ממשי יוצרת תמיד מספר לא שלילי.

המספרים המרוכבים היא קבוצה רחבה יותר של מספרים, שמכילה את המספרים הממשיים, ובה יש לכל המשוואות הפולינומיאליות פתרון.

לצורך כך, אנו מגדירים מספר, שיסומן באות $\ i$ , שמקיים $\ i^2=-1$ . מספר זה הוא פתרון למשוואה $\ x^2+1=0$ . מספר כזה לא יכול להיות ממשי, ולכן אנו מכנים אותו מספר מדומה.

משהגדרנו את $\ i$ , ניתן לכפול אותו במספרים ממשיים ולחבר אותו עם מספרים ממשיים. באופן כללי, אם יש לנו שני מספרים ממשיים $\ a,b$ , נוכל על ידי כפל וחיבור עם $\ i$ לקבל את המספר $\ a+bi$ . לקבוצה של כל המספרים מהצורה הזו אנו קוראים "המספרים המרוכבים". מתברר כי לכל משוואה פולינומיאלית קיים פתרון במספרים מרוכבים (אף כי לעתים מציאת הפתרון היא בעיה קשה).

שתי שאלות מתבקשות עולות מההגדרה הזו:

האם מה שעשינו הוא חוקי בכלל? למה מותר לנו "להמציא" את המספר $\ i$ בצורה הזו?
בשביל מה זה טוב?

התשובה לשאלה הראשונה היא כן. המספר הזה הוא תוספת חוקית. למעשה, אתם כבר מכירים הרחבה מסוג זה, שנועדה לאפשר פתרון של משוואות. את המספרים הרציונליים המציאו על ידי הרחבת המספרים השלמים, כדי שיוכלו לפתור משוואות של כפל. למשל, כדי שיהיה פתרון למשוואה $\ 3x=2$ הומצא המספר $\ \frac{2}{3}$ .

בהמשך נראה כיצד ניתן לקבל את המספרים המרוכבים על ידי בניה שיטתית, שמתבססת על המספרים הממשיים הקיימים, ולא על ידי "המצאה" של המספר $\ i$ . לעת עתה לא ניכנס לבניה זו, אלא ננסה להבין את תכונותיהם של המספרים המרוכבים, מה שיקל עלינו בהמשך להבין את הבניה.

התשובה לשאלה השנייה היא כפולה: ראשית, אנחנו מתעניינים במספרים המרוכבים מטעמים מתמטיים טהורים - אנחנו רוצים אוסף של מספרים, שהוא שלם במובן זה שניתן לפתור בו כל משוואה פולינומיאלית. שנית, למספרים המרוכבים נמצאו שימושים רבים במתמטיקה, בפיסיקה ובמדעי הטבע. למרות שלכאורה מספרים אלו נראים "לא טבעיים", הם שימושיים גם ליישומים מעשיים, ויש בעיות רבות, שהניסוח שלהן והפתרון שלהן אינו מכיל מספרים מרוכבים, אך כדי לפתור אותן יש להיעזר במספרים מרוכבים.

דוגמה בולטת לכך היא פתרון של משוואות ממעלה שלישית. מבחינה היסטורית, העיסוק במספרים המרוכבים התפתח לאחר שבמהלך נסיונות לפתרון משוואות ממעלה שלישית, הבחינו המתמטיקאים כי קיימות משוואות שלא ניתן לקבל את כל פתרונותיהן בצורה שיטתית מבלי להוציא שורש למספר שלילי במהלך הפתרון, וזאת למרות שהפתרונות עצמם הם מספרים ממשיים.

[עריכה] תכונות בסיסיות

[עריכה] חזקות של i

הגדרנו את $\ i$ על ידי כך ש- $\ i^2=-1$ . מהגדרה זו ניתן לקבל חזקות נוספות של $\ i$ :

$\ i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i$

$\ i^4=i^3\cdot i=-i\cdot i=-i^2=-(-1)=1$

$\ i^5=i^4\cdot i=1\cdot i=i$

$\ i^6=i^5\cdot i=i\cdot i=i^2=-1$

קיבלנו שקיימת מחזוריות בחזקות של $\ i$ : לאחר כל 4 העלאות חזקה אנחנו חוזרים על עצמנו. ניתן להוכיח זאת כך: אם $\ i^n=x$ אז $\ i^{4+n} = i^4 \cdot i^n = 1 \cdot x = x$ .

בהתבסס על התכונות המוכרות לנו של חזקות, נגדיר $\ i^0=1$ . כמו כן נגדיר $\ i^{-n}=\frac{1}{i^n}$ . על המשמעות של חלוקה ב- $\ i$ נלמד בפרק הבא.

[עריכה] החלק הממשי והחלק המדומה

כזכור, מספר מרוכב כללי $\ z$ הוא מהצורה $\ z=a+bi$ . אנו קוראים למספר הממשי $\ a$ החלק הממשי של המספר המרוכב ומסמנים אותו $\ a=Re(z)$ . ה- $\ Re$ הוא קיצור של המילה האנגלית Real - "ממשי".

כמו כן, למספר הממשי $\ b$ אנו קוראים החלק המדומה של המספר המרוכב ומסמנים אותו $\ b=Im(z)$ כאשר ה- $\ Im$ הוא קיצור של המילה האנגלית Imaginary (מדומה).

שימו לב: החלק המדומה הוא $\ b$ , לא $\ bi$ . כלומר, אנחנו לוקחים רק את המספר הממשי.

אם החלק המדומה של מספר מרוכב הוא 0, המספר הוא מהצורה $\ a+0\cdot i$ כאשר $\ a$ הוא מספר ממשי. כלומר, המספר הוא מספר ממשי. לכן כל מספר ממשי הוא גם מספר מרוכב.

[עריכה] ערך מוחלט

כזכור, עבור מספר ממשי $\ x$ אנחנו מסמנים את הערך המוחלט שלו על ידי $\ |x|$ . אם $\ x$ חיובי, הערך המוחלט הוא $\ x$ עצמו, ואם הוא שלילי, הערך המוחלט הוא $\ x$ ללא הסימן שלו. ניתן לחשוב על הערך המוחלט כאילו הוא מייצג את מרחק המספר מהאפס.

עבור מספרים מרוכבים אנו מגדירים גם כן ערך מוחלט, בצורה מעט יותר מסובכת ששומרת על הרעיון לפיו הערך המוחלט הוא המרחק מהאפס. עבור המספר המרוכב $\ z=a+bi$ אנו מגדירים את הערך המוחלט כך: $\ |z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

הסבר מדויק לגבי הגדרה זו יינתן בהמשך, בחלק שבו נדבר על המישור המרוכב. לעת עתה נעיר כי ההגדרה מתבססת על משפט פיתגורס.

כדאי לדעת:

נשים לב שההגדרה ה"חדשה" אינה סותרת את מה שאנו מכירים לגבי ערך מוחלט של מספר ממשי. נניח ש $x$ הוא מספר ממשי. אז $x = R e (x) + 0 i$ . לפי ההגדרה ה"ישנה" לערך מוחלט, הערך המוחלט שלו $R e (x)$ אם הוא אינו שלילי, ו $- R e (x)$ אם הוא שלילי. לפי ההגדרה ה"חדשה", הערך המוחלט שלו הוא $\ |x|=\sqrt{Re(x)^2+0^2}$ , כלומר בדיוק אותו הדבר.

[עריכה] פתרון משוואות באמצעות מספרים מרוכבים

בתחילת הפרק ציינו, כי המוטיבציה להגדרת המספרים המרוכבים נובעת מהשאיפה למצוא פתרון לכל משוואה. נדגים כאן כיצד משתמשים במספרים המרוכבים לפתרון משוואה, שאין לה פתרון ממשי.

נביט במשוואה הבאה:

$\ x^2-6x+13=0$ .

כדי לפתור משוואה כזו, אנו משתמשים בנוסחה הרגילה לפתרון משוואה ריבועית. נקבל:

$\ x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-52}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{-1}\sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm 4i}{2}=3\pm 2i$

קיבלו שני פתרונות שהם מספרים מרוכבים.

מסתבר שלכל משוואה מהצורה $\ x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0=0$ יש בדיוק $\ n$ פתרונות במספרים מרוכבים. לתכונה זו קוראים המשפט היסודי של האלגברה, אך לא נוכיח אותה כאן. ההוכחה אינה מיידית, ודורשת ידע רחב יותר במתמטיקה - בפרט, ידע בתחום החשבון האינפיניטסימלי.

עם זאת, למרות שקיום פתרון מובטח על ידי המשפט, אין זה בטוח שנוכל למצוא בקלות את הפתרונות. קיימות נוסחאות כלליות לפתרון משוואות ממעלה שנייה, שלישית ורביעית, אך עבור מעלה גבוהה יותר הוכח כי לא קיימת נוסחה כללית, שמערבת רק את פעולת החשבון הבסיסיות והוצאת שורש. גם הוכחה זו חורגת מהחומר ושייכת לתחום באלגברה הנקרא תורת גלואה.

הפרק הקודם:
מספרים מרוכבים

הגדרת המספרים המרוכבים
תרגילים

הפרק הבא:
חשבון במספרים מרוכבים

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הגדרת המספרים המרוכבים

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] המטרה

[עריכה] תכונות בסיסיות

[עריכה] חזקות של i

[עריכה] החלק הממשי והחלק המדומה

[עריכה] ערך מוחלט

[עריכה] פתרון משוואות באמצעות מספרים מרוכבים

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא