מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הצמוד המרוכב והערך המוחלט

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | מספרים מרוכבים

בפרק הקודם ראינו כי לכל מספר מרוכב $\ z=a+bi$ ניתן להתאים מספר שנקרא הצמוד שלו. נסמנו $\ \bar{z}$ (קו מעל הסימן שמסמל את המספר), והוא יוגדר כך: $\ \bar{z}=a-bi$ . כלומר, הצמוד של מספר כלשהו הוא מספר שזהה לו פרט לסימן החלק המדומה שלו.

מייד מההגדרה נובעות כמה תכונות:

$\ \overline{\overline{z}}=z$ . כלומר, הצמוד של הצמוד של $\ z$ הוא $\ z$ עצמו.
$\ \overline{z_1+z_2}=\bar{z_1}+\bar{z_2}$ . כלומר, הצמוד של סכום של מספרים מרוכבים הוא הסכום של הצמודים של אותם מספרים.
$\ \overline{z_1z_2}=\bar{z_1}\bar{z_2}$ . כלומר, הצמוד של מכפלה של מספרים מרוכבים הוא המכפלה של הצמודים של אותם מספרים.
$\ z+\bar{z}=2\cdot Re(z)$ . כלומר, הסכום של מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים החלק הממשי של אותו מספר.
$\ z-\bar{z}=2i\cdot Im(z)$ . כלומר, ההפרש בין מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים המספר המדומה $\ i$ כפול החלק המדומה של $\ z$ .
מתקיים $\ z=\bar{z}$ אם ורק אם $\ z$ הוא מספר ממשי. כלומר, אם מספר מרוכב שווה לצמוד שלו הוא ממשי, וכל מספר ממשי שווה לצמוד שלו.

לא קשה להוכיח תכונות אלו - נסו לעשות זאת בעצמכם על ידי כתיבת המספר $\ z$ בצורה המפורשת $\ z=a+bi$ .

[עריכה] הקשר בין הצמוד המרוכב והערך המוחלט

כזכור, בהקדמה, הגדרנו את הערך המוחלט עבור מספר מרוכב בצורה הבאה: אם $\ z=a+bi$ אז $\ |z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

נעמוד כעת על שני קשרים בסיסיים בין הערך המוחלט והצמוד המרוכב:

$\ |z|=|\bar{z}|$ . כלומר, הערך המוחלט של מספר זהה לערך המוחלט של הצמוד שלו.
$\ z\cdot\bar{z}=|z|^2$ . כלומר, מספר כפול הצמוד שלו שווה לערך המוחלט שלו בריבוע. בפרט זהו מספר ממשי שכן הערך המוחלט של מספר הוא תמיד ממשי.

כדי לראות שהתכונה השנייה מתקיימת, נשים לב כי $\ z\cdot\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2$ .

נשים לב כי זוהי התכונה שעל קיומה עמדנו בפרק הקודם, ובה השתמשנו כדי לחשב את המנה $\ \frac{1}{z}$ . כעת נשתמש בתכונות שראינו ונכתוב בצורה כללית:

אם $\ z\ne 0$ אז $\ \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z|^2}$ .

למעשה לא חידשנו כאן דבר - ההוכחה של תכונה זו היא מיידית וזהה ל"תעלול" שנקטנו בפרק הקודם. פשוט נכפול את המונה והמכנה של השבר $\ \frac{1}{z}$ בצמוד של $\ z$ , ובכך לא נשנה את ערך המספר כי אנו כופלים אותו ב-1.

נשים לב כי הדרישה $\ z\ne 0$ היא הכרחית מהטעם הפשוט שאין מובן לביטוי $\ \frac{1}{0}$ והוא נותר לרוב בלתי מוגדר.