מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | מספרים מרוכבים

עד עתה למדנו כיצד לבצע פעולות חשבון בסיסיות במספרים מרוכבים ואנו מסוגלים לפתור משוואות ממעלה ראשונה בהם. שיטת הפתרון של משוואות ריבועיות דומה לפתרון של משוואות ריבועיות במספרים ממשיים, בהבדל אחד: הדיסקרמיננטה שנקבל עשוייה להיות מספר מרוכב, ולכן כדי לקבל את הפתרון נצטרך להיות מסוגלים להוציא שורש למספר מרוכב, ולכן נלמד כעת כיצד ניתן לבצע זאת.

[עריכה] הוצאת שורשים

בהמשך נלמד כיצד ניתן להוציא שורש מכל סדר שהוא, אולם כעת נלמד טכניקה להוצאת שורשים ריבועיים שלעתים קרובות יכולה להיות נוחה יותר לשימוש מאשר הטכניקה הכללית.

נניח כי אנו רוצים למצוא את שני השורשים של המספר המרוכב $\ z=a+bi$ . אנחנו מנחשים שהשורשים גם הם מספרים מרוכבים. בעקרון יש להוכיח כי ניחוש כזה הוא לגיטימי, אולם נדחה את ההוכחה למקרה הכללי. נניח אם כן כי $\ x+iy$ הוא מספר מרוכב שמהווה את אחד מהשורשים וננסה לראות מהם ערכי $\ x,y$ .

מכיוון ש- $\ x+iy=\sqrt{a+bi}$ צריך להתקיים השוויון הבא:

$\ (x+yi)^2=a+bi$

נפתח את הסוגריים באגף שמאל ונקבל:

$\ x^2-y^2+2xyi=a+bi$

יש לנו שני משתנים $\ x,y$ ולכאורה רק משוואה אחת, אולם בפועל בתוך המשוואה חבויות שתי משוואות. מכיוון ש- $\ x,y,a,b$ כולם מספרים ממשיים ניתן להשוות בנפרד את החלק הממשי והחלק המדומה של המספרים שמשני צדי השוויון. נקבל את שתי המשוואות הבאות:

$\ x^2-y^2=a$
$\ 2xy=b$

לאחר פתרון מערכת המשוואות הזו נקבל את השורשים המבוקשים.

[עריכה] דוגמה

נניח שאנו מחפשים את $\ \sqrt{5+12i}$ . על פי השיטה שהראינו, נקבל את מערכת המשוואות הבאה:

$\ x^2-y^2=5$
$\ 2xy=12$

מהמשוואה השנייה נחלץ את $\ x$ :

$\ x=\frac{6}{y}$

נציב במשוואה הראשונה ונקבל:

$\ \frac{36}{y^2}-y^2=5$

נקבל את המשוואה הבאה:

$\ y^4+5y^2-36=0$

נגדיר $\ t=y^2$ וקיבלנו משוואה ריבועיות רגילה:

$\ t^2+5t-36=0$

פתרונות המשוואה הם $\ t_{1,2}=4,-9$ . מכיוון ש- $\ y$ הוא מספר ממשי הפתרון $\ y^2=-9$ אינו קביל, ולכן $\ y_{1,2}=\pm 2$ הם הפתרונות היחידים, ולהם מתאימים הפתרונות $\ x_{1,2}=\pm 3$ .

קיבלנו כי $\ \sqrt{5+12i}=\pm(3+2i)$ .

[עריכה] פתרון משוואות ריבועיות

כעת נראה דוגמה לפתרון משוואה ריבועית. באופן כללי הרעיון זהה לרעיון של פתרון משוואות ריבועיות במספרים ממשיים: אם $\ az^2+bz+c=0$ היא המשוואה, אז שני הפתרונות נתונים על ידי: