מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המישור המרוכב וההצגה הקוטבית

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< מתמטיקה תיכונית | אלגברה תיכונית | מספרים מרוכבים

תוכן עניינים

1 המישור המרוכב
2 הערך המוחלט - חזרה קצרה
- 2.1 מהו מרחק?
- 2.2 הערך המוחלט כמרחק
3 ההצגה הקוטבית
- 3.1 מעבר בין ההצגות הקרטזית והקוטבית
4 נוסחת אוילר
- 4.1 הוכחה

[עריכה] המישור המרוכב

בפרקים הקודמים כבר ראינו כי כל מספר מרוכב מאופיין על ידי החלק הממשי והחלק המדומה שלו. נערוך כאן חזרה קצרה על אפיון זה:

אם $\ z=a+bi$ אז $\ Re(z)=a$ הוא החלק הממשי של $\ z$ , ו- $\ Im(z)=b$ הוא החלק המדומה שלו.

גם החלק הממשי וגם החלק המדומה שניהם מספרים ממשיים. יתר על כן - החלק הממשי והחלק המדומה מאפיינים לחלוטין את המספר. כלומר, די לדעת מהם החלק הממשי והמדומה של מספר מרוכב כדי לדעת מהו המספר.

אם כן, ניתן לחשוב על כל מספר מרוכב כעל זוג של מספרים ממשיים. נביא כעת כמה דוגמאות להקבלה זו:

$\begin{matrix} 5+4i&(5, 4) \\ 3i&(0, 3) \\ \frac{4+5i}{3}&(\frac{4}{3}, \frac{5}{3}) \\ 42&(42, 0) \\ \sqrt{2}+\sqrt{2}i&(\sqrt{2}, \sqrt{2}) \\ \end{matrix}$

זוגות של מספרים ממשיים אינם זרים למי שלמד גאומטריה אנליטית - ניתן לחשוב על כל נקודה במישור כעל זוג של מספרים ממשיים שמייצגים את הקוארדינטות שלה על ציר $\ x$ וציר $\ y$ .

בדיוק באותה הצורה ניתן יהיה לחשוב על כל מספר מרוכב כעל מספר במישור. כדי לזכור שמדובר על מספרים מרוכבים ולא על המישור האוקלידי הרגיל נהוג לכנות את המישור הזה בתור המישור המרוכב, ולסמן את הצירים שלו לא בתור $\ x,y$ אלא בתור $\ Re,Im$ . כלומר, הציר האופקי הוא זה שעליו מודדים את גודל החלק הממשי של המספר, ועל הציר האנכי מודדים את החלק המדומה שלו.

צורת חשיבה זו על המספרים המרוכבים היא מתקבלת על הדעת. עבור המספרים הממשיים יש לנו אינטואיציה גאומטרית - הם כל המספרים שנמצאים על קו ישר, שאותו אנו מכנים "הישר הממשי". לכן הגיוני לחפש אינטואיציה גאומטרית דומה גם עבור המספרים המרוכבים.

יתר על כן, הדמיון בין המישור המרוכב למישור האוקלידי הרגיל מעניק לנו דרך לבנות את המספרים המרוכבים מבלי "להמציא" את $\ i$ . נראה זאת ביתר פירוט בפרק הבא.

ניתן לדבר גם על קבוצות של מספרים מרוכבים ולא רק על מספרים בודדים. בתמונה הבאה של המישור המרוכב, החלק הכהה מסמן את הקבוצה שמכילה את כל המספרים המרוכבים שהן החלק הממשי והן החלק המדומה שלהם הם בין $\ -1$ ו- $\ 1$ :

[עריכה] הערך המוחלט - חזרה קצרה

כעת נשלים חובות שיש לנו בנוגע לערך המוחלט. ראשית נסביר את משמעות הגדרתו, ואחר נדבר על אי שוויון המשולש. חלק זה מיועד להרחבה, וניתן לדלג עליו אל החלק העוסק בהצגה הקוטבית.

כזכור, הערך המוחלט הוגדר כך:

$\ |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

מדוע אנו בוחרים בהגדרה שכזו?

[עריכה] מהו מרחק?

כאשר עוסקים במספרים ממשיים, הערך המוחלט של מספר כלשהו הוא אותו המספר ללא סימן. מטרת ההגדרה הזו היא לייצג את מרחק המספר מנקודת האפס על גבי הישר, אך מהו בעצם מרחק?

בצורה אינטואיטיבית, מרחק הוא פשוט אורכו של הקו שבין שתי נקודות. אם מקבלים את דרך החשיבה הזו, ננסה לראות מהן התכונות הבסיסיות שאנו מצפים שמרחק יקיים.

ראשית, נצפה שהמרחק יהיה תמיד מספר ממשי חיובי. זאת מכיוון שאורך של קו הוא תמיד מספר ממשי וחיובי.

שנית, נצפה שהמרחק בין שתי נקודות יהיה אפס אם ורק כאשר הוא נמדד מנקודה לעצמה - במקרה כזה אין קו בין שתי הנקודות, כי הן נמצאות באותו מקום. ניתן לומר כי קיים קו "מנוון" בין שתי הנקודות, שאורכו 0.

שלישית, נצפה שהמרחק מנקודה $\ a$ לנקודה $\ b$ יהיה זהה למרחק מנקודה $\ b$ לנקודה $\ a$ . זאת מכיוון שאורך של קו לא תלוי בשאלה האם אנחנו מותחים אותו מהנקודה הראשונה לשנייה, או מהנקודה השנייה לראשונה.

התכונה הרביעית, שמכונה אי שוויון המשולש היא הפחות אינטואיטיבית מבין כל התכונות. היא אומרת דבר כזה: המרחק שבין שתי נקודות יהיה קטן או שווה לסכום המרחקים של שתי הנקודות מנקודת ביניים שלישית.

ננסה להבין זאת באמצעות דוגמה. נניח שאנחנו בתל אביב ורוצים למדוד את המרחק לירושלים. כמובן שנרצה למדוד את המרחק הקצר ביותר, ולשם כך נמדוד את אורך הדרך שנוסעת הישר מתל אביב ועד ירושלים, ולא את הדרך שעוברת מתל אביב לחיפה ומחיפה לירושלים, שהיא בוודאי ארוכה יותר.

במציאות, דבר זה לא תמיד מתקיים. לפעמים יש "קיצורי דרך" שנובעים מכך שהדרך הישירה בין שתי ערים היא מפותלת. אבל כאשר אנו עוסקים בנקודות במישור, ניתן לחשוב כאילו אנו נעים תמיד במעוף הציפור - בקו ישר.

כעת ניתן לראות כיצד נכנס המשולש לתמונה. נניח שיש לנו שתי נקודות - $\ a,b$ , ואנו מותחים בינן קו. כעת נוסיף נקודה שלישית: $\ c$ , ונבחר אותה בקווים לנקודות $\ a,b$ . נקבל משולש.

תכונה ידועה מהגאומטריה האוקלידית היא שבמשולש, סכום של שתי צלעות גדול מהצלע השלישית. מתכונה זו עולה כי הקו הישר שמחבר את $\ a,b$ קצר מסכום אורכי הקווים שמחברים את $\ c$ עם שתי הנקודות. כלומר, מעבר דרך $\ c$ אינו יכול לשמש כ"דרך קיצור". שוויון יתקיים רק כאשר הנקודה $\ c$ תהיה על הקו שמחבר את $\ a,b$ ובמקרה זה המשולש שנקבל יהיה "מנוון" - שטחו יהיה אפס.

[עריכה] הערך המוחלט כמרחק

כעת משהסברנו מהו מרחק, נותר לראות שהערך המוחלט שהוגדר עבור מספרים מרוכבים הוא אכן מרחק. בשביל זה די לשים לב להגדרתו:

הערך המוחלט של מספר מרוכב $\ z$ הוא אורך הישר שמחבר את הנקודה שמייצגת אותו במישור המרוכב עם ראשית הצירים.

מכיוון שכבר ראינו שהמישור המרוכב הוא למעשה דרך אחרת להתבונן על המישור האוקלידי, התכונות מהמישור האוקלידי מתקיימות עבור ההגדרה שלנו. לכן הערך המוחלט של מספר מרוכב הוא מרחקו מאפס והוא מקיים את כל התכונות שניתן לצפות להן ממרחק.

נותר לראות מדוע המרחק של $\ z$ מראשית הצירים יוצא דווקא $\ \sqrt{a^2+b^2}$ . תוצאה זו מתקבלת ממשפט פיתגורס: במשולש ישר זווית שהצלעות המאונכות בו הן $\ a,b$ והיתר בו הוא $\ c$ מתקיים $\ a^2+b^2=c^2$ .

אם נסתכל על נקודה במישור המרוכב נוריד עבורה אנך לציר $\ Re$ ונחבר אותה עם ראשית הצירים, נראה כי קיבלנו משולש ישר זווית שהיתר שלו היא הישר שמחבר את הנקודה עם הראשית, ואורך הצלעות המאונכות בו הוא בדיוק החלק הממשי והחלק המדומה של המספר. משפט פיתגורס נותן מיידית את התוצאה המבוקשת.

[עריכה] ההצגה הקוטבית

בחלק זה נשתמש בעובדות בסיסיות מטריגונומטריה.

כבר ראינו כי ניתן לראות כל מספר מרוכב כנקודה במישור. אנו נוהגים לתאר נקודות במישור באמצעות קוארדינטות שנקראות קרטזיות (על שם הפילוסוף והמתמטיקאי רנה דקארט שהמציא אותן) שמורכבת משני מספרים: קוארדינטת $\ x$ וקוארדינטת $\ y$ , שמתארות את המרחק מראשית הצירים שאנו הולכים במקביל לציר $\ y$ ובמקביל לציר $\ x$ כדי להגיע עד לנקודה.

ישנה דרך נוספת לתאר נקודה, ולכן דרך נוספת לתאר מספר מרוכב. בחלק זה נראה את הדרך הזו.

נביט בנקודה כלשהי במישור ונחבר אותה עם קו ישר אל ראשית הצירים. נסתכל על הקו שקיבלנו. יש לו שתי תכונות ברורות: ראשית, יש לו אורך מסויים. שנית, הוא יוצר זווית עם ציר $\ x$ .למעשה הוא יוצר שתי זוויות עם ציר $\ x$ , שמשלימות זו את זו ל-360 מעלות. לכן די בידיעה של אחת מהזוויות כדי לדעת מהי הזווית השניה. נבחר תמיד את הזווית שהישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר $\ x$ - כלומר, את הזווית שמתקבלת אם "מסובבים" את הישר עם כיוון השעון עד שהוא נח על ציר $\ x$ ופונה ימינה.

מכאן שאם נדע אורך של ישר ואת הזווית שהוא יוצר עם הכיוון החיובי של ציר $\ x$ , נוכל לתאר במדויק את אותו ישר, ולכן גם את הנקודה שבקצהו. לכן במקום לתאר נקודה עם קוארדינטות קרטזיות ניתן לתאר אותה באמצעות אורך וזווית, וזוהי בדיוק מהות ההצגה הקוטבית.

[עריכה] מעבר בין ההצגות הקרטזית והקוטבית

נניח שנתון לנו מספר מרוכב $\ a+bi$ , כלומר הקוארדינטות הקרטזיות שלו במישור המרוכב הן $\ (a,b)$ . אנחנו רוצים לדעת מהי ההצגה הקוטבית שלו. כיצד נמצא אותה?

ראשית, את אורכו של הישר קל לנו למצוא. כזכור, אורך זה הוא בדיוק הערך המוחלט של המספר המרוכב, כלומר $\ \sqrt{a^2+b^2}$ . לתוצאה זו הגענו על פי משפט פיתגורס. נהוג לסמן את האורך על ידי האות $\ r$ .

כדי למצוא את הזווית נצייר את המשולש ששימש אותנו גם בשימוש במשפט פיתגורס. במשולש זה נראה כי טנגנס הזווית שאנו מחפשים הוא בדיוק היחס $\ \frac{b}{a}$ . לכן הזווית שלנו נתונה על ידי $\ \tan\theta=\frac{b}{a}$ (בשביל הזווית אנו משתמשים באות היוונית תטה). למשוואה זו יש שני פתרונות שונים בקטע $\ [0^\circ,360^\circ]$ , וכדי לבחור את הזווית הנכונה אנחנו צריכים לבחור את זו שמתאימה לרביע שבו נמצא המספר שלנו. כזכור מטריגונומטריה, ניתן למצוא את הרביע על פי הסימנים של $\ a,b$ :

$\ a,b>0$ - רביע ראשון ( $\ [0^\circ,90^\circ]$ ).
$\ a<0,b>0$ - רביע שני ( $\ [90^\circ,180^\circ]$ ).
$\ a,b<0$ - רביע שלישי ( $\ [180^\circ,270^\circ]$ ).
$\ a>0,b<0$ - רביע רביעי ( $\ [270^\circ,360^\circ]$ ).

בעיה יכולה להתעורר כאשר $\ a=0$ , כי הרי אז הביטוי $\ \frac{b}{a}$ אינו מוגדר. נשים לב כי אם $\ a=0$ , הישר שלנו הוא אנכי, ולכן הזוויות שהוא יוצר היא של $\ 90^\circ$ במקרה שבו כיוונו הוא כלפי מעלה, כלומר $\ b>0$ , ושל $\ 270^\circ$ כאשר $\ b<0$ . במקרה שבו גם $\ a=0$ וגם $\ b=0$ (כלומר המספר המרוכב שלנו הוא 0) נהוג להותיר את הזווית בלתי מוגדרת.

כיצד ניתן לבצע את המעבר ההפוך? כלומר, בהינתן $\ (r,\theta)$ כיצד נעבור ל- $\ (x,y)$ ? גם כאן די בטריגונומטריה בסיסית. נצייר שוב את המשולש שלנו ונראה כי מתקיים:

$\ x=r\cos\theta$

$\ y=r\sin\theta$

כלומר, המעבר בכיוון השני הוא פשוט עוד יותר.

בהתבסס על נוסחאות אלו, אם נתון לנו המספר המרוכב $\ z=a+bi$ וחישבנו את הזווית והאורך שלו, ניתן לכתוב אותו כך:

$\ z=r\cos\theta+i\cdot r\sin\theta=r\cdot\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$ .

נהוג לסמן בקיצור:

$\ \cos\theta+i\sin\theta=\mathrm{cis}\theta$ .

ולכן מספר מרוכב יכול להיכתב בקיצור בצורה קוטבית על ידי:

$\ z=r\cdot \mathrm{cis}\theta$ .

להצגה הקוטבית יש שימושים רבים. בפרט, היא מאפשרת לבצע בצורה נוחה מאוד פעולות של כפל, חילוק, העלאה בחזקה והוצאת שורשים במספרים מרוכבים. נראה זאת בפרק הבא. עם זאת, יש לה גם חסרונות: חיבור וחיסור הרבה פחות קלים לביצוע בצורה זו.

את הזווית נהוג לכנות לפעמים בתור הארגומנט של המספר המרוכב, אולם כאן חבויה בעיה בשימוש בה' הידיעה, שכן למספר מרוכב יש למעשה אינסוף זוויות שמתאימות לו. זאת מכיוון שפונקציות הסינוס והקוסינוס הן מחזוריות, וכל 360 מעלות הן חוזרות על עצמן. מכאן שאם למספר מרוכב מתאימה זווית כלשהי, גם כל זווית אחרת שהתקבלה על ידי חיבור או חיסור כפולות של 360 מעלות תיתן את אותן התוצאות בדיוק. על כן בוחרים בתור הארגומנט את הזווית שנמצאת בתחום שבין 0 ל-360 מעלות.

[עריכה] נוסחת אוילר

חלק זה מיועד להרחבה ולהעשרה, ואינו נכלל בחומר הלימוד לבגרות.

למספר $\ e=2.7183\dots$ המכונה בסיס הלוגריתם הטבעי יש חשיבות רבה במתמטיקה, והוא מופיע בהקשרים שונים ומשונים. בחלק זה נלמד על אחד מהקשרים אלו.

הפונקציה $\ f(x)=e^x$ מתאימה לכל מספר ממשי את $\ e$ מועלה בחזקה שלו. באופן טבעי עולה השאלה: מה יקרה אם במקום מספר ממשי $\ x$ נשתמש במספר מרוכב? כלומר, לכמה שווה $\ e^{a+bi}$ ?

ממבט ראשון השאלה עלולה להיראות חסרת פשר. לא ברור איזו משמעות ניתן לייחס למעריך שהוא מספר מרוכב. עם זאת, אין זה אומר שלא ניתן למצוא משמעות שכזו. כדאי לזכור כי גם $\ e^{\sqrt{2}}$ אינה חזקה שאנו רגילים לה באלגברה הבסיסית, בה אנחנו עובדים עם חזקות שהן מספרים רציונליים בלבד.

אחת התגליות החשובות שגילה המתמטיקאי לאונרד אוילר (מהמתמטיקאים הפורים ביותר בכל הזמנים) הייתה המשמעות של אותה חזקה. מתברר כי מתקיימת הנוסחה הבאה:

$\ e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$

נוסחה זו נקראת נוסחת אוילר.

הוכחת נוסחה זו דורשת ידע בחשבון אינפיניטסימלי ובפרט בתחום העוסק בטורי טיילור. בסוף חלק זה נראה את רעיון ההוכחה, אך לא נוכיח את הנוסחה בצורה מדוייקת לחלוטין. לעת עתה ננסה להבין את משמעות הנוסחה.

מהנוסחה עולה כי $\ e$ בחזקת מספר מרוכב הוא בעצמו מספר מרוכב. מהנוסחה עוד עולה כי ניתן לתאר כל מספר הנתון בהצגה קוטבית בתור חזקה של $\ e$ :

$\ r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})=r\cdot e^{i\theta}$ .

נוסחה זו קצרה יותר לכתיבה מאשר הנוסחה שמכילה את הפונקציות הטריגונומטריות, ולכן לרוב מעדיפים להשתמש בה. כמו כן, מהנוסחה הזו יותר ברורות תכונות הכפל, החילוק והחזקה שאותן נראה בפרק הבא.

בעזרת שימוש בחוקי החזקות הבסיסיים, קל לחשב את החזקה של $\ e$ עבור מספר מרוכב שנתון בצורה $\ a+bi$ :

$\ e^{a+bi}=e^a\cdot e^{bi}=e^a\cdot \mathrm{cis}(b)$

כלומר, $\ e$ בחזקת המספר $\ a+bi$ הוא מספר מרוכב שאורכו $\ e^{a}$ והזווית שלו עם הכיוון החיובי של ציר $\ x$ היא $\ b$ . הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה המקורית של $\ e$ עבור מספרים ממשיים בלבד: כאשר $\ b=0$ נקבל את המספר הממשי $\ e^{a}$ .

מקרה פרטי של השימוש בנוסחת אוילר הוא כאשר $\ \theta=\pi$ . במקרה זה נקבל:

$\ e^{i\pi}=\cos{\pi}+i\sin{\pi}=-1$ .

על ידי העברת אגפים נקבל את הזהות:

$\ e^{i\pi}+1=0$ .

זהות זו מכונה זהות אוילר ונחשבת בעיניי רבים לאחת מהזהויות היפות במתמטיקה. היא קושרת יחד חמישה מהמספרים הבסיסיים ביותר במתמטיקה: $\ 0$ , שהוא המספר הנייטרלי ביחס לחיבור, $\ 1$ שהוא המספר הנייטרלי ביחס לכפל, $\ \pi$ שהוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו, $\ e$ ו- $\ i$ .

[עריכה] הוכחה

בחלק זה נראה את רעיון ההוכחה של נוסחת אוילר. ההוכחה מתבססת על התכונה $\ i^2=-1$ ועל טור הטיילור של הפונקציות $\ e^x,\sin(x),\cos(x)$ .

טור טיילור הוא מושג השייך לתחום החשבון האינפיניטסימלי. טור טיילור של פונקציה כלשהי בנקודה מסויימת הוא סכום אינסופי של מספרים, כך שככל שמסכמים בו יותר מספרים, הסכום הולך ומתקרב למספר שהוא הערך של הפונקציה בנקודה הזו.

למשל, טור הטיילור של $\ e^x$ הוא זה:

$\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots$

האיבר הימני ביותר בטור, זה שבו מופיע $\ n$ , נקרא האיבר הכללי של הטור. כל איבר בטור הוא מהצורה של האיבר הכללי, עבור ערכים שונים של $\ n$ , כאשר $\ n$ הוא מספר טבעי או אפס. נסו להציב את הערכים $\ n=0,1,2,3,4$ ותראו שאתם אכן מקבלים את האיברים הראשונים בטור.

כעת נסו להציב $\ x=1$ והתחילו לחבר את אברי הטור. תראו כי הסכום שאתם מקבלים הולך ומתקרב לערכו של $\ e$ . ככל שתחברו יותר איברים כך תגדל רמת הדיוק שלכם, עד שלבסוף תעברו את הדיוק של מחשבוני כיס. אכן, אחת הדרכים שבה מחשבון יכול לחשב ערכים של פונקציות היא באמצעות טור הטיילור שלהן. מכיוון שהטור הוא אינסופי התוצאה שתתקבל לא תהיה מדוייקת - אבל עבור פונקציות רבות, ניתן להשתמש בטורי טיילור שלהן כדי לקבל תוצאה שקרובה לערך האמיתי בכל רמת דיוק שנרצה.

טור טיילור יכול לשמש ליותר מאשר מציאת קירובים. כעת נראה כיצד משתמשים בו כדי להוכיח את זהות אוילר.

ראשית נציג את טורי טיילור של פונקציות הסינוס והקוסינוס:

$\ \sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots$

$\ \cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots$

קרוב לודאי שאתם שמים לב לדמיון בין הטור של $\ e^x$ לטורים של סינוס וקוסינוס. קשר זה אינו מקרי, כמובן.

כעת נראה מה קורה כאשר אנו מציבים בטור של $\ e^x$ מספר מרוכב - כלומר, נציב $\ x=i\theta$ . נקבל:

$\ e^{i\theta}=1+i\theta+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+\frac{(i\theta)^4}{4!}+\frac{(5i)^5}{5!}+\dots=1+i\theta+\frac{-\theta^2}{2!}+\frac{-i\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\frac{i\theta^5}{5!}=$

$\ = \left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}+\dots\right)+i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}+\dots\right)=\cos\theta+i\sin\theta$

וכך קיבלנו את הנוסחה.

ההוכחה שלנו אינה מלאה, וחסרות לנו הצדקות לחלק מהמעברים שביצענו. בפרט המעבר שבו פירקנו את הטור שלנו לשני טורים שונים תוך שאנו משנים את סדר הסכימה דורש הצדקה. הצדקה זו שייכת לתחומי החשבון האינפיניטסימלי והאנליזה המרוכבת, שאיננו נכנסים אליהם כאן.

הפרק הקודם:
הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות

המישור המרוכב וההצגה הקוטבית
תרגילים

הפרק הבא:
משפט דה-מואבר

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המישור המרוכב וההצגה הקוטבית

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

[עריכה] המישור המרוכב

[עריכה] הערך המוחלט - חזרה קצרה

[עריכה] מהו מרחק?

[עריכה] הערך המוחלט כמרחק

[עריכה] ההצגה הקוטבית

[עריכה] מעבר בין ההצגות הקרטזית והקוטבית

[עריכה] נוסחת אוילר

[עריכה] הוכחה

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא