מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
פתרון משוואות בעזרת מספרים מרוכבים [ עריכה ] פתרו את המשוואות הבאות:
x
2
+
16
=
0
{\displaystyle x^{2}+16=0}
x
2
−
4
x
+
20
=
0
{\displaystyle x^{2}-4x+20=0}
10
x
2
+
2
x
+
1
=
0
{\displaystyle 10x^{2}+2x+1=0}
x
2
+
x
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+x+1=0}
x
3
−
3
x
2
+
4
x
=
0
{\displaystyle x^{3}-3x^{2}+4x=0}
x
4
−
1
=
0
{\displaystyle x^{4}-1=0}
x
4
+
5
x
2
+
6
=
0
{\displaystyle x^{4}+5x^{2}+6=0}
x
3
−
1
=
0
{\displaystyle x^{3}-1=0}
חזקות של
i
{\displaystyle i}
[ עריכה ] חשבו את המספרים הבאים (החזירו את התשובה הפשוטה ביותר שאתם מסוגלים):
i
109
{\displaystyle i^{109}}
−
i
15
{\displaystyle -i^{15}}
(
−
i
)
77
{\displaystyle (-i)^{77}}
(
2
i
)
8
{\displaystyle ({\sqrt {2}}i)^{8}}
(
i
12
+
i
32
−
i
52
)
537
{\displaystyle (i^{12}+i^{32}-i^{52})^{537}}
(
i
27
−
i
13
)
5
{\displaystyle (i^{27}-i^{13})^{5}}
(
i
+
i
2
+
i
3
+
⋯
+
i
40
)
120
{\displaystyle (i+i^{2}+i^{3}+\dots +i^{40})^{120}}
פתרון משוואות בעזרת מספרים מרוכבים [ עריכה ] תשובות סופיות [ עריכה ]
x
1
,
2
=
±
4
i
{\displaystyle x_{1,2}=\pm 4i}
x
1
,
2
=
2
±
4
i
{\displaystyle x_{1,2}=2\pm 4i}
x
1
,
2
=
−
1
10
±
3
10
i
{\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {1}{10}}\pm {\frac {3}{10}}i}
x
1
,
2
=
−
1
±
3
i
2
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}}
x
1
=
0
,
x
2
,
3
=
3
±
7
i
2
{\displaystyle x_{1}=0,x_{2,3}={\frac {3\pm {\sqrt {7}}i}{2}}}
x
1
,
2
=
±
1
,
x
3
,
4
=
±
i
{\displaystyle x_{1,2}=\pm 1,x_{3,4}=\pm i}
x
1
,
2
=
±
3
i
,
x
3
,
4
=
±
2
i
{\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {3}}i,x_{3,4}=\pm {\sqrt {2}}i}
x
1
=
1
,
x
2
,
3
=
−
1
±
3
i
2
{\displaystyle x_{1}=1,x_{2,3}={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}}
שאלות 1-4 מתבססות על שימוש סטנדרטי בנוסחה לפתרון משוואה ריבועית, כאשר הפעם הדיסקרמיננטה שתתקבל תהיה שלילית ויש להוציא את השורש שלה באמצעות שימוש במספרים מרוכבים.
בשאלה 5 אחד הפתרונות הוא 0 (כי אין מקדם חופשי), וניתן לחלק ב-x כדי לקבל משוואה ריבועית עבור הפתרונות הנותרים.
בשאלה 6 כדאי לשים לב שמתקיים
x
4
−
1
=
(
x
2
−
1
)
(
x
2
+
1
)
{\displaystyle x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)}
בשאלה 7 נסמן
t
=
x
2
{\displaystyle t=x^{2}}
t
2
+
5
t
+
6
{\displaystyle t^{2}+5t+6}
בשאלה 8 נשים לב ש-
x
3
−
1
=
(
x
−
1
)
(
x
2
+
x
+
1
)
{\displaystyle x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
חזקות של
i
{\displaystyle i}
[ עריכה ] תשובות סופיות [ עריכה ]
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
−
i
{\displaystyle -i}
16
{\displaystyle 16}
1
{\displaystyle 1}
−
32
i
{\displaystyle -32i}
0
{\displaystyle 0}
בשאלות 1-4 הפתרון נובע משימוש מיידי בחוקי החזקות ובכך ש-
i
4
=
1
{\displaystyle i^{4}=1}
i
109
=
i
108
⋅
i
=
(
i
4
)
27
⋅
i
=
1
27
⋅
i
=
i
{\displaystyle i^{109}=i^{108}\cdot i=(i^{4})^{27}\cdot i=1^{27}\cdot i=i}
בשאלות 5-7 מספיק להביא כל אחד מהאברים בסכום לצורה פשוטה יותר כדי לקבל שהסכום בסוגריים יהפוך לאיבר בודד, ועליו קל להפעיל את פעולת החזקה. 
