מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות

עד עתה למדנו כיצד לבצע פעולות חשבון בסיסיות במספרים מרוכבים ואנו מסוגלים לפתור משוואות ממעלה ראשונה בהם. שיטת הפתרון של משוואות ריבועיות דומה לפתרון של משוואות ריבועיות במספרים ממשיים, בהבדל אחד: הדיסקרמיננטה שנקבל עשויה להיות מספר מרוכב, ולכן כדי לקבל את הפתרון נצטרך להיות מסוגלים להוציא שורש למספר מרוכב. נלמד כעת כיצד ניתן לבצע זאת.

הוצאת שורשים

בכדי להוציא שורש למספר מדומה עלינו לעלות בשנייה את התרגיל במקום להוציא שורש.

דוגמה 1: הוצאת שורש

פתור את התרגיל $Z^{2}=9-40i$

ראשית אנו יודעים כי $z=a+bi$ ולכן נציבו במשוואה:

$(a+bi)^{2}=9-40i$

נפתח את הסוגריים באגף שמאל ונקבל:

$a^{2}+2abi-b^{2}=9-40i$

יש לנו שני משתנים $a,b$ . כפי שהדגמנו בפרק משוואות עם מספרים מרוכבים, עלינו להשוואות בין המספרים המדומים ובין המספרים הממשים. כלומר יש לנו שתי משוואות:

${\begin{cases}a^{2}-b^{2}=9\\2abi=-40i\\\end{cases}}$

נחלץ את אחד מהנעלמים:

${\begin{aligned}2abi=-40i\\2ab=-40/:2b\\a={\frac {-20}{b}}\\\end{aligned}}$

נציב במשוואה הראשונה:

${\begin{aligned}a^{2}-b^{2}=9\\\left({\frac {-20}{b}}\right)^{2}-b^{2}=9\\{\frac {400}{b^{2}}}-b^{4}=9\\400-b^{4}=9b^{2}\\b^{4}+9b^{2}-400=0\\\end{aligned}}$

נעזר בנוסחת השורשים $(b^{2}+25)(b^{2}-16)=0$ ונקבל $b=\pm 4$

נמצא את $a$ באמצעות הצבת $b=4\ ,\ b=-4$

${\begin{aligned}a={\frac {-20}{4}}\\a=-5\\a={\frac {-20}{-4}}\\a=5\\\end{aligned}}$

פתרון: $z=5-4i$ או $z=-5+4i$

פתרון משוואות ריבועיות

כעת נראה דוגמא לפתרון משוואה ריבועית. באופן כללי הרעיון זהה לרעיון של פתרון משוואות ריבועיות במספרים ממשיים: אם $az^{2}+bz+c=0$ היא המשוואה, אז שני הפתרונות נתונים על-ידי:

$z_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

כל המקדמים ( $a,b,c$ ) יכולים להיות מספרים מרוכבים, ולכן לצורך הפתרון נזדקק לכל מה שלמדנו עד עתה: חיבור, חיסור, כפל, חילוק והוצאת שורש.

נפתור את המשוואה הריבועיות $z^{2}+(1+2i)z-2-2i$

במקרה זה:

$a=1\ ,\ b=1+2i\ ,\ c=-(2+2i)$

הדיסקרימיננטה היא:

$b^{2}-4ac=(1+2i)^{2}+4(2+2i)=1+4i-4+8+8i=5+12i$

וכבר ראינו כי ${\sqrt {5+12i}}=\pm (3+2i)$ . לכן נקבל:

$z_{1,2}={\frac {-1-2i\pm (3+2i)}{2}}$ ונקבל את שני הפתרונות:

$z_{1}=1\ ,\ z_{2}=(-2-2i)$

תרגיל :
פתור את המשוואה

x^{2}-6x+13=0

באמצעות מספרים מרוכבים

כדי לפתור משוואה כזו, אנו משתמשים בנוסחה הרגילה לפתרון משוואה ריבועית. נקבל:

$x_{1,2}={\frac {6\pm {\sqrt {36-52}}}{2}}={\frac {6\pm {\sqrt {-16}}}{2}}={\frac {6\pm {\sqrt {16}}{\sqrt {-1}}}{2}}={\frac {6\pm 4i}{2}}=3\pm 2i$

קיבלו שתי פתרונות שהם מספרים מרוכבים.

נוסחאות וייטה

ייתכן כי כבר נתקלתם בנוסחאות וייטה בחקירת משוואות ריבועיות במספרים ממשיים. הן תקפות גם עבור מספרים מרוכבים, ונראה זאת כאן.

נוסחאות וייטה עוסקות בצורה של סכום ומכפלה של שני הפתרונות של משוואה ריבועית. מסתבר שכדי לדעת את הסכום והמכפלה די לדעת את מקדמי המשוואה. נראה זאת.

תהא $az^{2}+bz+c$ משוואה ריבועית. על-פי הנוסחה הכללית לפתרון המשוואה, שני הפתרונות הם:

$z_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ ,\ z_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

ולכן:

$z_{1}+z_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-2b}{2a}}=-{\frac {b}{a}}$

$z_{1}\cdot z_{2}={\frac {(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}})(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}})}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}={\frac {4ac}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}$

קיבלנו את שתי נוסחאות וייטה:

$z_{1}+z_{2}=-{\frac {b}{a}}$
$z_{1}\cdot z_{2}={\frac {c}{a}}$

הפרק הקודם:
הצמוד המרוכב והערך המוחלט

הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות
תרגילים

הפרק הבא:
המישור המרוכב וההצגה הקוטבית