חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< חשבון אינפיניטסימלי | גבולות

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

1 הגדרת הגבול המדויקת
- 1.1 עוד על בחירת ו-
2 הגדרה מדויקת לגבולות חד-צדדיים
- 2.1 הקשר בין הגבול לגבולות החד צדדים
3 הגדרה מדויקת לגבולות אינסופיים
- 3.1 גבולות חד צדדיים באינסוף
4 הגדרה מדויקת לגבולות באינסוף
5 הגדרה מדוייקת לגבולות אינסופיים באינסוף
6 קישורים חיצוניים

[עריכה] הגדרת הגבול המדויקת

ניזכר בהגדרה הלא מדויקת שלנו למושג הגבול:

הגדרה:

נכתוב $\lim_{x \to a}f(x)=L$

ונאמר "הגבול של $\ f(x)$ , כאשר $\ x$ שואף ל- $\ a$ , שווה ל- $\ L$ "

אם אנחנו יכולים להביא את $\ f(x)$ קרובה ל- $\ L$ ככל שנרצה אם ניקח $\ x$ קרוב מספיק ל- $\ a$ (בכל צד של $\ a$ ) אבל לא שווה ל- $\ a$ .

מה זאת אומרת "להביא את $\ f(x)$ קרובה ל- $\ L$ ככל שנרצה" או " $\ x$ קרוב מספיק ל- $\ a$ "? מונחים כמו "קרוב מספיק" הם מעורפלים ולא מוגדרים היטב מתמטית. עם זאת, ההגדרה הלא מדויקת היא אינטואיטיבית ומה שנעשה כעת הוא לפרמל את האינטואיציה. ניתן הגדרה פורמלית ומדויקת למושג הגבול.

הגדרה: גבול

תהי $\ f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר a, מלבד אולי ב- $\ a$ עצמו. נאמר כי הגבול של $\ f(x)$ כאשר $\ x$ שואף ל- $\ a$ הוא $\ L$ , ונכתוב $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L$ אם לכל מספר $\varepsilon > 0$ קיים מספר $\ \delta > 0$ כך שאם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ , אז מתקיים $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon$ .

תמונה הממחישה את ההסבר להגדרת הגבול

הבא ננסה להבין כיצד הגדרה זו, שנראת מסובכת בתחילה, מתאימה להגדרה הלא מדוייקת אשר ניתנה קודם לכן.
כאשר אמרנו "להביא את $\ f(x)$ קרובה ל- $\ L$ ככל שנרצה", למה הכוונה ב"ככל שנרצה"? אנחנו יכולים להביא את $\ f(x)$ למרחק 0.1 מ- $\ L$ , מרחק 0.00001 ולמעשה, מרחק קטן ככל שנרצה. את המרחק הזה מסמל בהגדרה הנ"ל אפסילון $\varepsilon$ , אות יוונית המשמשת לרוב לציון ערכים קטנים מאוד, למרות שאין זה מן הנמנע כי אפסילון יהיה מספר גדול מאוד. $\left| {f\left( x \right) - L} \right|$ הוא המרחק של $\ f(x)$ מ- $\ L$ ואנו אומרים שהגבול קיים אם אנחנו יכולים לעשות את המרחק הזה קטן ככל שנרצה (קטן מכל אפסילון שהוא). אם נפתח את הערך המוחלט ונעביר את $L$ הצידה, נקבל:

$L- \varepsilon < f(x) < L + \varepsilon$

כלומר, הערכים אשר $\ f(x)$ מקבלת נמצאים בין $L- \varepsilon$ לבין $L+ \varepsilon$ , וזהו הדבר שבדיוק חיפשנו - $\ f(x)$ קרובה ל- $\ L$ עד כדי המרחק $\varepsilon$ .
מתי מתרחשת קרבה זו, ע"פ ההגדרה? כאשר $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ ולאחר פתיחת הערך המוחלט והעברת $\ a$ הצידהL

$\ a- \delta < x < a + \delta$

כלומר עבור ערכי $\ x$ שהם קרובים ל-a מאוד, למעשה קרובים עד כדי המרחק הקטן $\ \delta$ .

[עריכה] עוד על בחירת $\varepsilon$ ו- $\ \delta$

מניין מגיע המספרים $\varepsilon$ ו- $\ \delta$ ואיך בוחרים אותו? האם כל מספר יתאים להם?
למי שעדיין אינו בקיא בהוכחות מתמטיות מדוייקות, יתכן שהשימוש בשני מספרים כללים נראה מפחיד בתחילה. נחזור כעת למשפט השני מתוך ההגדרה: "...לכל מספר $\varepsilon > 0$ קיים מספר $\ \delta > 0$ ..."
המספר $\varepsilon$ אינו נבחר על ידנו, אם כן. $\varepsilon$ אשר מייצג את המרחק של $\ f(x)$ מהערך $\ L$ יכול להיות כל מספר. כאשר נוכיח את קיומו של גבול כלשהו נצטרך למצוא עבור מספר $\varepsilon$ כללי, מספר אחר $δ$ , מתאים לו (כפי שכתוב בהגדרה) אשר מקיים את שאר תנאי המשפט. $\ \delta$ אם כן, הוא מספר אשר כן נבחר על ידנו, אבל לא כל $\ \delta$ יתאים, ונצטרך לבחור אותו בחוכמה, ועל כך בדוגמא.

דוגמא: נביט בפונקציה $f(x) = \frac {{x}}{{x}}$ ונתעניין בגבול $\lim_{x\rarr a}f(x)$ .
ראשית, מהם הערכים שהפונקציה מקבלת? לכל $x \ne 0$ נקבל כי $\ f(x) = \frac {{x}}{{x}} = 1$ . ניתן להיות תחת הרושם השגוי כי למעשה $\ f(x) = 1$ לכל $x$ , אבל שימו לב מה קורה עבור $x = 0$ : $f(0) = \frac {{0}}{{0}}$ , וכפי שלמדנו בביה"ס היסודי, אין לחלק ב-0 לעולם. לכן ב-0 הפונקציה אינה מוגדרת. עם זאת, אנו "מרגישים" שכאשר נתקרב ל-0 "מאוד" עדיין נשמר הכלל $\ f(x) = 1$ ולכן "מתבקש" כי $\lim_{x\rarr 0}f(x)=1$ . כעת נוכיח זאת בצורה מדוייקת, בעזרת ההגדרה המדוייקת שלמדנו.
יהי $\varepsilon_0 > 0$ כלשהו. למה הכוונה במשפט זה? נזכר כי עלינו להוכיח משהו (במקרה זה קיום $\ \delta > 0$ מתאים) עבור כל $\varepsilon$ הגדול מאפס. יש כמובן אינסוף ערכי $\varepsilon$ שעבורם עלינו למצוא. אנו בוחרים איפה $\varepsilon_0 > 0$ שרירותי, ומוצאים עבורו $\ \delta_0$ מתאים. אם עבור $\varepsilon_0$ שרירותי שנבחר נמצא המבוקש - הרי שניתן להגיד שלכל $\varepsilon > 0$ ניתן למצוא את המבוקש וסיימנו את ההוכחה.
ובכן, נבחר עבור ה- $\varepsilon_0$ שלנו, $\ \delta=\varepsilon_0$ . מתעוררות שתי שאלות:

האם זהו $\ \delta$ מתאים?
האם זהו ה- $\ \delta$ היחידי שניתן לבחור?

התשובה לשאלה הראשונה היא "כן". הבא נראה: עבור כל $\ x$ המקיים $0 < \left| {x - 0} \right| < \delta = \varepsilon_0$ בפרט מתקיים $0 < \left| {x - 0} \right| = \left| {x} \right|$ , כלומר ש- $x \neq 0$ ולכן $\ f(x) = 1$ כפי שהוסבר קודם, ולכן

$\left| {f\left( x \right) - 1} \right| = \left| {1 - 1} \right|=0< \varepsilon_0$

ולכן הוכחנו את מה שדרשה ההגדרה.
לשאלתנו השנייה - התשובה היא "לא". שימו לב שבהוכחה לא השתמשנו כלל בעובדה ש- $\left| {x - 0} \right| < \delta = \varepsilon_0$ , כלומר לא נזקקנו לגודל מסויים של $δ$ , ולמעשה יכולנו לבחור כל ערך עבורו, בפרק לקבוע ערכים קבועים כמו $δ = 32$ . זה לא יהיה המצב תמיד, ולעיתים נהיה חייבים לקבוע מגבלות מסויימות על ערכי $δ$ המתאימים. אם זאת, שימו לב שאם $δ = δ 0$ מתאים ל- $\varepsilon = \varepsilon_0$ מסויים הרי שגם $\delta = \frac {{\delta_0}}{{2}}$ יתאים ולכן תמיד הבחירה של $δ$ אינה יחידה.

אתגר:

נסו להבין למה אם $δ = δ 0$ מתאים ל- $\varepsilon = \varepsilon_0$ אז גם $\delta = \frac {{\delta_0}}{{2}}$ מתאים לו.

[עריכה] הגדרה מדויקת לגבולות חד-צדדיים

הבה ניזכר בפונקציה

$h(x)=\left\{\begin{matrix}1,&\mbox{if }x>0\\-1,&\mbox{if }x<0\end{matrix}\right.$

.

האם לפונקציה זו קיים גבול עבור x=0 ? אנו טוענים שלא. נראה זאת:
נניח בשלילה שקיים גבול L לפונקציה עבור x=0, כלומר מתקיים $\lim_{x \to 0}h(x)=L$ . ע"פ ההגדרה: לכל מספר $\varepsilon > 0$ קיים מספר $δ > 0$ כך שאם $0 < \left| {x - 0} \right| = \left| {x} \right|< \delta$ , אז מתקיים $\left| {h\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon$ .
ניקח לדוגמא אם כן $\varepsilon = 1$ , אשר עבורו קיים $δ = δ 0$ מתאים. נסמן $x_1 = {\delta_0 \over 2}$ וכן $x_2 = -{\delta_0 \over 2}$ , ומתקיים: $\left| {x_1} \right|< \delta_0$ ולכן $\left| {h(x_1) - L} \right| = \left| {1 - L} \right| < 1$ , כלומר לאחר פתיחת הערך המוחלט והעברת אגף $0 < L$ .
אם נעשה את הדבר עם $x 2$ נקבל כי $\left| {h(x_2) - L} \right| = \left| {-1 - L} \right| < 1$ כלומר נקבל $0 > L$ .
קיבלנו סתירה ולכן לא קיים גבול.
עם זאת, אנו מרגישים כי אם "נתקרב" לאפס רק מכיוון אחד כל פעם, נקבל גבול - אם נתקרב מהכיוון החיובי נקבל גבול $L + = 1$ , בעוד שאם נתקרב מהכיוון השלילי נקבל גבול $L - = - 1$ . נגדיר את 1 אם כן להיות "הגבול של h(x) מימין ב-0", ואת -1 להיות "הגבול של h(x) משמאל ב-0". ובמדויק:

הגדרה: גבול חד צדדי

תהי $\ f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה $\ (a,b)$ . נאמר כי הגבול של $\ f(x)$ כאשר $\ x$ שואף ל- $\ a$ מימין הוא $\ L^{+}$ , ונכתוב $\lim _{x \to a^{+}} f\left( x \right) = L^{+}$ אם לכל מספר $\ \varepsilon > 0$ קיים מספר $\ \delta > 0$ כך שאם $\ 0 < {x - a} < \delta$ , אז מתקיים $\ \left| {f\left( x \right) - L^{+}} \right| < \varepsilon$ .

תהי $\ f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה $\ (b,a)$ . נאמר כי הגבול של $\ f(x)$ כאשר $\ x$ שואף ל- $\ a$ משמאל הוא $\ L^{-}$ , ונכתוב $\lim _{x \to a^{-}} f\left( x \right) = L^{-}$ אם לכל מספר $\varepsilon > 0$ קיים מספר $\ \delta > 0$ כך שאם $\ 0 < {a - x} < \delta$ , אז מתקיים $\ \left| {f\left( x \right) - L^{-}} \right| < \varepsilon$ .

כל אחד מהגבולות הנ"ל מכונה "גבול חד צדדי של f ב-a".

[עריכה] הקשר בין הגבול לגבולות החד צדדים

אפשר לשים לב כי הגדרה זו דומה מאוד להגדרת הגבול, אלא שכאן אנו "מתקרבים" לנקודה a בכל פעם רק מכיוון אחד. מה הקשר בין הגבולות החד צדדים לגבול הרגיל של פונקציה? אם לפונקציה קיים גבול משני צידיה בנקודה a, הרי שבפרט ניתן "להתקרב" לכל צד בניפרד ולהגיע לאותו גבול. יתרה מכך. אם לפונקציה שני גבולות חד-צדדים בנקודה וגבולות אלו שווים - הרי שהגיוני שהגבול של הפונקציה קיים, ועל כך במשפט הבא:

משפט:

לפונקציה f גבול L בנקודה a, אמ"ם לפונקציה קיימים שני הגבולות החד-צדדיים בנקודה ושניהם שווים ל-L. ונסמל: $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = L \iff \lim _{x \to a^{+}} f\left( x \right) = L \and \lim _{x \to a^{+}} f\left( x \right) = L$

הוכחת צד אחד:
נניח ל-f קיימים גבולות חד צדדיים בנקודה a, ומתקיים $L \equiv L^{+}=L^{-}$ ויהי $\varepsilon > 0$ כלשהו. ע"פ הגדרה קיימים $\ \delta^{+} , \delta^{-} > 0$ כך ש:

לכל x המקיים $\ 0 < {x - a} < \delta^{+}$ , אז $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon$ .
לכל x המקיים $\ 0 < {a - x} < \delta^{-}$ , אז $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon$ .

נסמן $\delta_0 \equiv \min(\delta^{+},\delta^{-})$ . כעת לכל x המקיים $0 < \left| x-a \right| < \delta_0$ מתקיים בדיוק אחד משני הבאים:

אם $\ x>a$ , אז $\ 0 < {x - a} < \delta_0 \le \delta^{+}$ , ולכן $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon$ .
אם $\ x<a$ , אז $\ 0 < {a - x} < \delta_0 \le \delta^{-}$ , ולכן $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon$ .

ולכן הגבול של f הוא L, ע"פ ההגדרה.

ה"טריק בו השתמשנו, היה בחירת שתי " $δ$ -ות" ולקיחת הקטנה מבינהן ע"י פונקציית המינימום. זהו "טריק" שחוזר על עצמו רבות בהוכחות בגבולות, וכדאי לזכור אותו כדי לדעת להשתמש בו בעתיד.

אתגר:

הוכח את הצד השני במשפט זה.

[עריכה] הגדרה מדויקת לגבולות אינסופיים

נביט בפונקציה $h_1(x) = {{1} \over {x^2}}$ . ברור לנו כי בנקודה $\ x=0$ עצמה הפונקציה אינה מוגדרת. ומה קורה בסביבה קרובה של x? ככל שאנו מתקרבים לנקודה x=0 הפונקציה מקבלת ערכים הולכים וגדלים. למעשה אין חסם עליון על הערכים שהפונקציה יכולה לקבל, וניתן לקבל ערך גדול כרצוננו לפונקציה. למצב זה נקרא "גבול אינסופי" ונגיד כי " $\ h_1$ שואפת לאינסוף ב-0".
בצורה אנלוגית עבור $h_2(x) = -{{1} \over {x^2}}$ נגיד כי " $\ h_2$ שואפת למינוס אינסוף ב-0".

הגדרה: גבול אינסופי

א. תהי $\ f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר a, מלבד אולי ב- $\ a$ עצמו. נאמר כי הגבול של $\ f(x)$ כאשר $\ x$ שואף ל- $\ a$ הוא $\infty$ , ונכתוב $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = \infty$ אם לכל מספר $\ M > 0$ קיים מספר $δ > 0$ כך שאם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ , אז מתקיים $\ f(x) > M$ .

ב. תהי $\ g$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר a, מלבד אולי ב- $\ a$ עצמו. נאמר כי הגבול של $\ g(x)$ כאשר $\ x$ שואף ל- $\ a$ הוא $-\infty$ , ונכתוב $\lim _{x \to a} g\left( x \right) = -\infty$ אם לכל מספר $\ M < 0$ קיים מספר $\ \delta > 0$ כך שאם $0 < \left| {x - a} \right| < \delta$ , אז מתקיים $\ g(x) < M$ .

ההגדרות אלו מגדירות בצורה מדוייקת את מה שנאמר במילים פשוטות. ההגדרות קובעות כי לפונקציה אין חסם עליון בסביבת a, ויתרה מכך, לכל מספר גדול ככל שנרצה M, נוכל למצוא סביבה קטנה מספיק סביב a כך שערכי הפונקציה בסביבה זו גדלם כולם מ-M.
הבא נראה כיצד הגדרות אלו באות לידי ביטוי בדוגמא למעלה, עבור הפונקציה $\ h_1$ :
יהי $\ M_0$ >0 כלשהו. נסמן $\delta_0 \equiv {1 \over \sqrt M_0}$ .
יהי כעת x המקיים $\left| x -0 \right| < \delta_0$ . אז $h_1(x) = {1 \over x^2} > {1 \over (\delta_0)^2} \ge M_0$ . מש"ל.

אתגר:

הוכח עבור $\ h_2$ המוגדרת מעלה כי $\lim _{x \to 0} h_2(x) = -\infty$ .

[עריכה] גבולות חד צדדיים באינסוף

נביט בפונקציה $h_3(x) = {1 \over x}$ . האם לפונקציה קיים גבול עבור $\ x=0$ ? כאשר "מתקרבים ל-0 מימין" (כלומר עבור ערכים חיוביים), $\ h_3(x)$ מקבלת ערכים הולכים וגדלים. כך:

$\ x$	$\ h_3(x)$
1	1
0.1	10
0.001	1,000
0.0001	10,000
0.000001	1,000,000

לעומת זאת כאשר "מתקרבים ל-0 משמאל" (כלומר עבור ערכים שליליים, $\ h_3(x)$ מקבלת ערכים הולכים וקטנים. כך:

$\ x$	$\ h_3(x)$
1-	1-
0.1-	10-
0.001-	1,000-
0.0001-	10,000-
0.000001-	1,000,000-

שוב אנו מבינים כי יש הבדל בני שני הצדדים של הנקודה x=0, ו"מרגישים" כי קיימים גבולות שונים בכל צד. ניתן הגדרה מדוייקת:

הגדרה: גבול חד צדדי אינסופי

תהי $\ f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה $\ (a,b)$ . נאמר כי הגבול של $\ f(x)$ כאשר $\ x$ שואף ל- $\ a$ מימין הוא $\ \infty$ , ונכתוב $\lim _{x \to a^{+}} f\left( x \right) = \infty$ אם לכל מספר $\ M > 0$ קיים מספר $\ \delta > 0$ כך שאם $\ 0 < {x - a} < \delta$ , אז מתקיים $\ f(x) > M$ .

תהי $\ f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה $\ (b,a)$ . נאמר כי הגבול של $\ f(x)$ כאשר $\ x$ שואף ל- $\ a$ משמאל הוא $\ \infty$ , ונכתוב $\lim _{x \to a^{-}} f\left( x \right) = \infty$ אם לכל מספר $\ M > 0$ קיים מספר $\ \delta > 0$ כך שאם $\ 0 < {a - x} < \delta$ , אז מתקיים $\ f(x) > M$ .

ועכשיו נוכיח כי $\lim _{x \to a^{+}} h_3(x) = \infty$ :
יהי $\ M_0>0$ כלשהו. נבחר $\ \delta_0 = {1 \over M_0}$ . יהי $\ x_0$ כלשהו המקיים $\ 0<x_0 -0<\delta_0$ ואז קל לראות כי $\ h_3(x_0) = {1 \over x_0} > {1 \over \delta_0} = M_0$ . מש"ל.

אתגר:

הגדר את הגבולות החד צדדיים: $\lim _{x \to a^{+}} f(x) = -\infty$ ו- $\lim _{x \to a^{-}} f(x) = -\infty$ , והוכח כי $\lim _{x \to a^{-}} h_3(x) = -\infty$ .

[עריכה] הגדרה מדויקת לגבולות באינסוף

נביט שוב בפונקציה $\ h_3(x) = {1 \over x}$ . הפעם נביט בערכים הולכים וגדלים של x:

$\ x$	$\ h_3(x)$
1	1
100	0.01
1,000	0.001
100,000	0.00001
1,000,000	0.0000001

מה קורה לפונקציה? הפונקציה מקבלת ערכים הקרבים ל-0 יותר ויותר. נגדיר את הגבול באינסוף כמספר שאליו הפונקציה הייתה "רוצה" להגיע.

הגדרה: גבולות באינסוף

א. תהי $\ f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה $(a,\infty)$ . נאמר כי הגבול של $\ f(x)$ כאשר $\ x$ שואף ל- $\ \infty$ הוא $\ L$ , ונכתוב $\lim _{x \to \infty} f(x) = L$ אם לכל מספר $\varepsilon > 0$ קיים מספר $\ N > 0$ כך שאם $\ N < x$ , אז מתקיים $\left| {f\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon$ .
ב. תהי $\ g$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה $(-\infty,a)$ . נאמר כי הגבול של $\ g(x)$ כאשר $\ x$ שואף ל- $\ -\infty$ הוא $\ L$ , ונכתוב $\lim _{x \to -\infty} g(x) = L$ אם לכל מספר $\varepsilon > 0$ קיים מספר $\ N < 0$ כך שאם $\ x < N$ , אז מתקיים $\left| {g\left( x \right) - L} \right| < \varepsilon$ .

ננסה להבין את ההגדרה הזאת בעזרת ההגדרה לגבול ה"רגיל". מה ההבדל בין ההגדרות?
בהגדרת הגבול הקודמת, חיפשנו ערכי x בסביבות הולכות וקטנות של a (מוגבלות ע"י $\ \delta$ -ת) אשר צמצמו את ערכי הפונקציה $\ f(x)$ (ערכים אלו מוגבלים ע"י $\ \varepsilon$ ).
בהגדרה זאת במקום סביבה ל-a אנחנו מגדילים את ערכי x עוד ועוד (ע"י הגדלת N), וזה בתורו מצמצם את ערכי הפונקציה $\ f(x)$ (ושוב ערכים אלו מוגבלים ע"י $\ \varepsilon$ ).

הבא נדגים על $\ h_3(x)$ :
יהי $\varepsilon_0 > 0$ כלשהו. נגדיר עבורו $N_0={1 \over \delta_0}$ . ויהי $\ x_0$ כלשהו, המקיים $\ x_0 > N_0$ . ואז $h_3(x_0) = {1 \over x_0} = {1 \over N_0} < \varepsilon$

[עריכה] הגדרה מדוייקת לגבולות אינסופיים באינסוף

כשם שהגדרנו גבול אינסופי, שם אמרנו שבסביבה מסויימת אין לפונקציה חסם, נגדיר לפונקציה "גבול אינסופי באינסוף" אם ערכיה הולכים וגדלים ללא הגבלה כאשר x גדל.

הגדרה: גבול אינסופי באינסוף

תהי $\ f$ פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה $(a,\infty)$ . נאמר כי הגבול של $\ f(x)$ כאשר $\ x$ שואף ל- $\ \infty$ הוא $\ \infty$ , ונכתוב $\lim _{x \to \infty} f(x) = \infty$ אם לכל מספר $\ M > 0$ קיים מספר $\ N > 0$ כך שאם $\ N < x$ , אז מתקיים $\ f(x) > M$ .

לדוגמא, נביט ב- $\ h_4(x) = x$ . נוכיח שהיא שואפת לאינסוף באינסוף.
יהי $\ M_0 > 0$ כלשהו. נגדיר עבורו $\ N_0 = M_0$ . ויהי כעת x המקיים $\ x > N_0$ . אז מתקיים: $\ h_4(x) = x > N_0 = M_0$ . מש"ל.