חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ'

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

תוכן עניינים

1 חוקי הגבולות
- 1.1 קישורים חיצוניים
2 כלל הסנדוויץ'
- 2.1 קישורים חיצוניים

[עריכה] חוקי הגבולות

עד כה השתמשנו בגרפים ובחישובים מספריים גרידא כדי לחשב גבולות אבל ראינו דוגמה בה שיטות אלו לא בהכרח הובילו לתשובה הנכונה. בזאת מוצגים חוקי הגבולות הבאים, ככלי אמין יותר לחישוב גבולות:

משפט: חשבון של גבולות סופיים

יהי $c$ קבוע ויהיו הגבולות $\lim_{x\rarr a}f(x)$ ו- $\lim_{x\rarr a}g(x)$ קיימים וסופיים. אזי, מתקיימים החוקים הבאים:

$\lim_{x\rarr a}\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \lim_{x\rarr a}f(x) + \lim_{x\rarr a}g(x)$

$\lim_{x\rarr a}\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = \lim_{x\rarr a}f(x) - \lim_{x\rarr a}g(x)$

$\lim_{x\rarr a}[cf(x)] = c\lim_{x\rarr a}f(x)$

$\lim_{x\rarr a}[f(x)g(x)] = \lim_{x\rarr a}f(x) \cdot \lim_{x\rarr a}g(x)$

$\lim_{x\rarr a}\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{\lim_{x\rarr a}{f\left( x \right)}}{{\lim_{x\rarr a}g\left( x \right)}}$

החוק החמישי מתקיים רק אם $\lim_{x\rarr a}g(x) \ne 0$ , על מנת להימנע מחלוקה באפס.

את כל אחד מהחוקים האלו ניתן לנסח במילים. גבול של סכום הוא סכום הגבולות, גבול של מנה הוא מנת הגבולות וכדומה. הגבולות האלו בבירור מתקיימים, אינטואיטיבית. למשל, עבור החוק הראשון, אם $f (x)$ שואפת למספר $M$ ו- $g (x)$ שואפת למספר $L$ , זה נשמע הגיוני שהגבול של סכום הפונקציות שואף ל- $L + M$ . עם זאת, את כולם נדע להוכיח במדויק מאוחר יותר. נציג מס' חוקים נוספים שימושיים.

אם נשתמש בכלל למכפלת גבולות מס' $n$ -י של פעמים כאשר $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ , נקבל את הכלל הבא:

$\lim_{x\rarr a}\left[ {f\left( x \right)} \right]^n = [\lim_{x\rarr a}f(x)]^n$

כאשר $n$ הוא מספר חיובי שלם.

הכללים הבאים הם כללים בסיסיים אשר ברורים אינטואיטיבית (ציירו את הגרפים של $y = c$ ושל $y = x$ במידה וזה לא נראה ברור):

$\lim_{x\rarr a}c = c$

$\lim_{x\rarr a}x = a$

קיים גם כלל "הפוך" לכלל השישי שהגדרנו (גבול של פונקציה בחזקה הוא הגבול של הפונקציה כאשר הגבול עצמו הוא בחזקה), להלן:

$\lim_{x\rarr a}\sqrt[n]{{f\left( x \right)}} = \sqrt[n]{\lim_{x\rarr a}f(x)}$

כאשר $n$ הוא מספר חיובי שלם. אם $n$ הוא מספר זוגי, הכלל מתקיים רק אם $\lim_{x\rarr a}f(x) > 0$ .

דוגמה: חשב את הגבול $\lim_{x\rarr 1}\frac{{x^2 - 2x + 4\sqrt[3]{x} - 1}}{{x + 8}}$ ,אם הוא קיים.

תשובה:

$\lim _{x \to 1} \frac{{x^3 - 2x^2 + 4x\sqrt[3]{x} - 1}}{{x + 8}} = \frac{{\lim _{x \to 1} \left( {x^3 - 2x^2 + 4x\sqrt[3]{x} - 1} \right)}}{{\lim _{x \to 1} \left( {x + 8} \right)}} =$

$= \frac{{\lim _{x \to 1} \left( {x^3 } \right) - \lim _{x \to 1} \left( {2x^2 } \right) + \lim _{x \to 1} \left( {4x\sqrt[3]{x}} \right) - \lim _{x \to 1} 1}}{{\lim _{x \to 1} x + \lim _{x \to 1} 8}} = \frac{{\left( {\lim _{x \to 1} x} \right)^3 - 2\lim _{x \to 1} \left( {x^2 } \right) + 4\lim _{x \to 1} \left( {x\sqrt[3]{x}} \right) - 1}}{{1 + 8}} =$

$= \frac{{1^3 - 2\left( {\lim _{x \to 1} x} \right)^2 + 4\left[ {\left( {\lim _{x \to 1} x} \right) \cdot \left( {\lim _{x \to 1} \sqrt[3]{x}} \right)} \right] - 1}}{9} = \frac{{ - 2\left( 1 \right)^2 + 4\left( {1 \cdot \sqrt[3]{{\lim _{x \to 1} x}}} \right)}}{9} = \frac{{ - 2 + 4\left( {1 \cdot \sqrt[3]{1}} \right)}}{9} =$

$= \frac{{ - 2 + 4}}{9} = \frac{2}{9}$

בחישוב גבול זה, השתמשנו בכל חוקי הגבולות והכללים הנ"ל בשלבי הפתרון השונים. ראוי לציין כי המעבר הראשון (מגבול של מנה למנה של גבולות) נעשה תחת ההנחה שהגבול של המכנה הוא אינו אפס ואילו היינו מקבלים כי הגבול של המכנה הוא אפס, המעבר לא היה נכון והיינו נאלצים לחזור לנקודת ההתחלה ולחפש דרך אחרת לחישוב הגבול.

דוגמה: חשב את הגבול $\lim _{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}$ , אם הוא קיים.

תשובה: כאן אנחנו נתקלים במכשול קטן. אנו רואים כי אם נשתמש בחוק החמישי לגבולות (גבול של מנה שווה למנת הגבולות) יווצר לנו במכנה גבול שערכו אפס. לפיכך, איננו יכולים להשתמש בחוק זה כאן. במקום זאת, נעשה קצת מניפולציה אלגברית. נשים לב כי $\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) = x - 1$ ונכתוב:

$\lim _{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \lim _{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \lim _{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x + 1}}$

כעת אנחנו יכולים להשתמש בחוק החמישי לגבולות.

$\lim _{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\lim _{x \to 1} \left( 1 \right)}}{{\lim _{x \to 1} \left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{1}{{\lim _{x \to 1} \left( {\sqrt x } \right) + \lim _{x \to 1} \left( 1 \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {\lim _{x \to 1} x} + 1}} = \frac{1}{{\sqrt 1 + 1}} = \frac{1}{2}$

וזהו ערכו של הגבול.

דוגמה: חשב את ערכו של הגבול $\lim _{x \to 2} \frac{{\sqrt {x^2 + 4} - 2}}{{x^2 }}$ , אם הוא קיים.

תשובה: גם כאן אנחנו לא יכולים להשתמש בחוק הגבולות החמישי. כאן המניפולציה האלגברית שנעשה היא סילוק השורש מהמונה.

$\lim _{x \to 2} \frac{{\sqrt {x^2 + 4} - 2}}{{x^2 }} = \lim _{x \to 2} \left( {\frac{{\sqrt {x^2 + 4} - 2}}{{x^2 }} \cdot \frac{{\sqrt {x^2 + 4} + 2}}{{\sqrt {x^2 + 4} + 2}}} \right) = \lim _{x \to 2} \left( {\frac{{\left( {\sqrt {x^2 + 4} - 2} \right)\left( {\sqrt {x^2 + 4} + 2} \right)}}{{x^2 \left( {\sqrt {x^2 + 4} + 2} \right)}}} \right) =$ $= \lim _{x \to 2} \left( {\frac{{\left( {x^2 + 4} \right) - 4}}{{x^2 \left( {\sqrt {x^2 + 4} + 2} \right)}}} \right) = \lim _{x \to 2} \left( {\frac{{x^2 }}{{x^2 \left( {\sqrt {x^2 + 4} + 2} \right)}}} \right) = \lim _{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x^2 + 4} + 2}} = \frac{{\lim _{x \to 2} 1}}{{\lim _{x \to 2} \left( {\sqrt {x^2 + 4} + 2} \right)}} =$ $= \frac{1}{{\lim _{x \to 2} \left( {\sqrt {x^2 + 4} } \right) + \lim _{x \to 2} 2}} = \frac{1}{{\sqrt {\lim _{x \to 2} \left( {x^2 + 4} \right)} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt {\lim _{x \to 2} \left( {x^2 } \right) + \lim _{x \to 2} 4} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt {\left( {\lim _{x \to 2} x} \right)^2 + 4} + 2}} =$ $= \frac{1}{{\sqrt {2^2 + 4} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt {4 + 4} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt 8 + 2}}$

מניפולציות אלגבריות שכאלו הן לעיתים הכרחיות כדי להגיע לגבול שאנחנו יכולים לחשב אותו באמצעות חוקי הגבולות.

עד כה חישבנו גבולות באופן מדוקדק לפי חוקי הגבולות, כאשר כל צעד וצעד שעשינו מנומק לפי אחד מחוקי הגבולות שהגדרנו קודם לכן. אבל, מהסתכלות בחישובי הגבולות שעשינו, נוצר הרושם כי מרגע שהגענו לצורה מוגדרת של הגבול ואילך, היינו יכולים פשוט להציב את המספר אליו $x$ שואף אל תוך הגבול באופן מיידי ולקבל את התשובה הנכונה. בעקבות זאת, נראה את הכלל החדש הבא:

אם $f$ היא פונקציה אלמנטרית המוגדרת בנקודה $x = a$ , אזי מתקיים $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)$ .

מהי פונקציה אלמנטרית? פונקציה אלמנטרית היא פונקציה אשר ניתן לבנות אותה על ידי הפעולות האריתמטיות הבסיסיות (חיבור, חיסור, כפל, חילוק, הוצאת חזקה ושורש) ופעולת ההרכבה ממספר פונקציות בסיסיות: הפונקציה המעריכית $e x$ , הפונקציה הלוגוריתמית $log a x$ , הפונקציות הטריגונומטריות והפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות, הפונקציות ההיפרבוליות והפונקציות ההיפרבוליות ההפוכות, פולינומים והפונקציות ההפוכות לפולינומים (פונקציות שורש, למשל הפונקציה $f\left( x \right) = \sqrt[5]{x}$ ). פונקצית הביסייד, אותה ראינו כשעסקנו בגבולות חד-צדדיים, היא דוגמה לפונקציה לא אלמנטרית. לא ניתן להגדיר אותה עם נוסחה סגורה (כמו שאר הפונקציות בהן עסקנו כאן) ולא משנה כמה ננסה, לא נצליח להגדירה באמצעות הפעולות האריתמטיות הבסיסיות והפונקציות הבסיסיות הנ"ל. נראה בפרק הבא כי פונקציות (לא בהכרח אלמנטריות) אשר מקיימות את התכונה של $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)$ קרויות פונקציות רציפות וכי יש להן תכונות רבות ומעניינות.

הכלל הבא עוזר לנו לחשב גבולות באינסוף:

אם $r > 0$ הוא מספר ממשי, אז מתקיים $\lim _{x \to \infty} \frac{1}{{x^r }} = 0$ .

אם $r > 0$ הוא מספר ממשי כך ש- $x r$ מוגדר לכל $x$ , אז מתקיים $\lim _{x \to -\infty} \frac{1}{{x^r }} = 0$ .

דוגמה: חשב את ערכו של הגבול $\lim _{x \to \infty} \frac{{9x^2 + x - 4}}{{ - 2x^2 + 3x - 10}}$ , אם הוא קיים.

הפונקציה $y = \frac{{9x^2 + x - 4}}{{ - 2x^2 + 3x - 10}}$

תשובה: כאשר $x$ שואף לאינסוף גם המונה וגם המכנה שואפים לאינסוף. בעגה מתמטית, הדבר קרוי גבול מצורה בלתי מוגדרת $\frac{\infty}{\infty}$ . אין זה ברור לאן שואפת המנה כאשר גם המונה וגם המכנה שואפים לאינסוף. כמו בדוגמה הקודמת, בה נתקלנו בצורה הבלתי מוגדרת $\frac{0}{0}$ , גם כאן נצטרך לעשות מעט מניפולציה אלגברית כדי להגיע לגבול שאותו אנו יודעים לחשב. כאן המניפולציה האלגברית הדרושה (וגם בגבולות רבים אחרים באינסוף) היא חלוקת המונה והמכנה שניהם בחזקה הגדולה ביותר של $x$ המופיעה במכנה. לפיכך:

$\lim _{x \to \infty} \frac{{9x^2 + x - 4}}{{ - 2x^2 + 3x - 10}} = \lim _{x \to \infty} \frac{{\frac{{9x^2 + x - 4}}{{x^2 }}}}{{\frac{{ - 2x^2 + 3x - 10}}{{x^2 }}}} = \lim _{x \to \infty} \frac{{9 + \frac{1}{x} - \frac{4}{{x^2 }}}}{{ - 2 + \frac{3}{x} - \frac{{10}}{{x^2 }}}}$

כעת אנחנו יכולים להשתמש בכלל לעיל כדי לחשב את הגבול.

$\lim _{x \to \infty} \frac{{9 + \frac{1}{x} - \frac{4}{{x^2 }}}}{{ - 2 + \frac{3}{x} - \frac{{10}}{{x^2 }}}} = \frac{{\lim _{x \to \infty} \left( {9 + \frac{1}{x} - \frac{4}{{x^2 }}} \right)}}{{\lim _{x \to \infty} \left( { - 2 + \frac{3}{x} - \frac{{10}}{{x^2 }}} \right)}} = \frac{{\lim _{x \to \infty} 9 + \lim _{x \to \infty} \left( {\frac{1}{x}} \right) - \lim _{x \to \infty} \left( {\frac{4}{{x^2 }}} \right)}}{{\lim _{x \to \infty} \left( { - 2} \right) + \lim _{x \to \infty} \left( {\frac{3}{x}} \right) - \lim _{x \to \infty} \left( {\frac{{10}}{{x^2 }}} \right)}} =$

$= \frac{{9 + 0 - 4\lim _{x \to \infty} \left( {\frac{1}{{x^2 }}} \right)}}{{ - 2 + 3\lim _{x \to \infty} \left( {\frac{1}{x}} \right) - 10\lim _{x \to \infty} \left( {\frac{1}{{x^2 }}} \right)}} = \frac{{9 - 4 \cdot 0}}{{ - 2 + 3 \cdot 0 - 10 \cdot 0}} = \frac{9}{{ - 2}} = - 4.5$

הגבול הוא $- 4.5$ . שימו לב כי למעשה גילינו כי הישר $y = - 4.5$ מהווה אסימפטוטה אופקית לפונקציה באינסוף. הגרף בצד מציג את הפונקציה בתחום $\left( { - 100,100} \right)$ . אנחנו רואים בגרף כי הישר $y = - 4.5$ מהווה אסימפטוטה אופקית לפונקציה לא רק באינסוף אלא גם במינוס אינסוף. גם זאת ניתן להוכיח לפי חוקי הגבולות וההוכחה דומה מאוד להוכחה הנ"ל עבור אינסוף.

פונקצית הערך המוחלט בסביבת

x = 0

דוגמה: חשב את ערכו של הגבול $\lim _{x \to 0} \left| x \right|$ , אם הוא קיים.

תשובה: כמו פונקצית הביסייד, גם פונקצית הערך המוחלט היא אינה אלמנטרית. נזכיר כי היא מוגדרת באופן הבא:

$| x |=\left\{\begin{matrix} x & & x \ge 0 \\ -x & & x < 0 \end{matrix}\right.$

לפיכך, אנחנו נאלץ לחשב את הגבולות החד-צדדיים שלה בנקודה $x = 0$ ובמידה והם יהיו שווים, יהיה לפונקציה גבול (גם מימין וגם משמאל) בנקודה, גבול סופי.

עבור $x > 0$ , מתקיים $\left| x \right| = x$ , לכן:

$\lim _{x \to 0^ + } \left| x \right| = \lim _{x \to 0^ + } x = 0$

עבור $x < 0$ , מתקיים $\left| x \right| = -x$ , לכן:

$\lim _{x \to 0^ - } \left| x \right| = \lim _{x \to 0^ - } (-x) = 0$

לפיכך, הגבולות החד-צדדיים של הפונקציה בנקודה $x = 0$ הם קיימים, סופיים ושווים, לכן:

$\lim _{x \to 0} \left| x \right| = 0$

גרף הפונקציה מוצג משמאל ונראה שהוא מאשש את מסקנתנו כי הפונקציה שואפת לאפס כאשר $x$ שואף לאפס.

פונקצית הערך השלם

דוגמה: פונקצית הערך השלם (נקראת גם פונקצית רצפה) היא פונקציה המחזירה לכל מספר ממשי x את המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל- $x$ . הסימון הרווח לפונקציה הוא $\lfloor x \rfloor$ . למשל, $\lfloor 2.7 \rfloor = 2$ , $\lfloor -2.1 \rfloor = -3$ , $\lfloor -2 \rfloor = -2$ . גרף הפונקציה מוצג משמאל. חשב את ערכו של הגבול $\lim _{x \to 2} \lfloor x \rfloor$ , אם הוא קיים.

תשובה: נחשב את הגבולות החד-צדדיים של הפונקציה. מכיוון ש- $\lfloor x \rfloor = 2$ עבור $2 \le x < 3$ , הגבול הימני הוא:

$\lim _{x \to 2^ + } \lfloor x \rfloor = \lim _{x \to 2^ + } 2 = 2$

מכיוון ש- $\lfloor x \rfloor = 1$ עבור $1 \le x < 2$ , הגבול השמאלי הוא:

$\lim _{x \to 2^ - } \lfloor x \rfloor = \lim _{x \to 2^ - } 1 = 1$

הגבול הימני והגבול השמאלי קיימים וסופיים אך הם אינם שווים, לכן הגבול $\lim _{x \to 2} \lfloor x \rfloor$ אינו קיים.

[עריכה] קישורים חיצוניים

[עריכה] כלל הסנדוויץ'

כלל הסנדוויץ' הוא אחד מהכללים השימושים ביותר בחישוב גבולות. גבולות מסוימים שנראים קשים מאוד או אף בלתי אפשריים לחישוב הופכים לגבולות קלים מאוד לחישוב בעזרתו. לפני שנציג אותו, נציג עוד כלל שימושי:

משפט:

אם $f\left( x \right) \le g\left( x \right)$ כאשר $x$ נמצא בסביבת $a$ (מלבד אולי ב- $a$ עצמו) והגבולות של $f$ ושל $g$ קיימים כאשר $x$ שואף ל- $a$ , אזי מתקיים:

$\lim _{x \to a} f\left( x \right) \le \lim _{x \to a} g\left( x \right)$

המשפט נשמע הגיוני. אם פונקציה כלשהי קטנה או שווה לפונקציה אחרת בסביבת $x = a$ כלשהו, אז הגבול שלה קטן או שווה לגבול של הפונקציה האחרת. משפט וזה וכן משפט הסנדוויץ' יוכחו בהמשך.

משפט: כלל הסנדוויץ

אם $\ h(x) , g(x) , f(x)$ הן פונקציות המקיימות:

$\ h(x) \le f(x) \le g(x)$ וכן $\lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L$

אז הגבול של $\ f$ בנקודה $\ a$ קיים וערכו $\lim_{x \to a} f(x) = L$

במילים אחרות, אם פונקציה שגבולה לא ידוע חסומה בין שתי פונקציות אחרות שגבולותיהן ידועים ושווים, אז לפונקציה החסומה בהכרח יש גבול והוא שווה לגבול הפונקציות החוסמות. $a$ ו- $L$ יכולים להיות מספר, אינסוף או מינוס אינסוף. בכל מקרה המשפט מתקיים. ראוי לציין כי אי השיוויון $\ h(x) \le f(x) \le g(x)$ צריך להתקיים רק בסביבת $a$ ואין זה מעניין אותנו אם הוא מתקיים או לא במקומות אחרים בתחומי הפונקציות. נראה שתי דוגמאות לשימוש בכלל הסנדוויץ'.

גרפי הפונקציות

f (x), g (x), h (x)

דוגמה: חשב את ערכו של הגבול $\lim _{x \to 0} \left( {x\sin x} \right)$ , אם הוא קיים.

תשובה: את הגבול הנ"ל אנחנו יכולים לחשב בקלות באמצעות החוקים שהגדרנו עד כה. לפי הכלל למכפלת גבולות, הוא יהפך ל: $\lim _{x \to 0} x \cdot \lim _{x \to 0} \sin x$ ומכיוון ששני הגבולות האלו קיימים וסופיים וערכם אפס, גם ערכו של גבול שלנו יהיה אפס. אבל הבה ננסה לחשב את הגבול בדרך אחרת, באמצעות כלל הסנדוויץ'. אם התוצאה תהיה אפס גם בדרך זו, זה יהווה אישוש של נכונות הדרך הקודמת.

ידוע לנו כי פונקצית הסינוס חסומה בין הישרים $y = 1$ ו- $y = - 1$ , או בכתיב פורמלי: $- 1 \le \sin x \le 1$ . נניח, בלי הגבלת הכלליות, כי $x > 0$ ונכפיל את כל אי השיוויון ב- $x$ . נקבל: $- x \le x\sin x \le x$ . לפי הגדרת כלל הסנדוויץ' הנ"ל, אנחנו רואים כי הפונקציות שלנו כאן הן $g\left( x \right) = x$ , $f\left( x \right) = x\sin x$ ו- $h\left( x \right) = - x$ . נחשב את הגבולות של הפונקציות החוסמות:

$\lim _{x \to 0} h\left( x \right) = \lim _{x \to 0} \left( { - x} \right) = 0$

$\lim _{x \to 0} g\left( x \right) = \lim _{x \to 0} x = 0$

קיבלנו כי $\lim _{x \to 0} h\left( x \right) = \lim _{x \to 0} g\left( x \right) = 0$ , כנדרש, לכן לפי כלל הסנדוויץ', $\lim _{x \to 0} f\left( x \right) = 0$ . ההוכחה עבור המקרה $x < 0$ דומה מאוד. התמונה בצד מציגה את הגרפים של שלושת הפונקציות ומספקת לנו המחשה ויזואלית של כלל הסנדוויץ'.

דוגמה: חשב את ערכו של הגבול $\lim _{x \to 0} \left( {x^2 \sin \frac{1}{x}} \right)$ , אם הוא קיים.

תשובה: את הגבול הזה אנחנו כבר לא יכולים לחשב עם חוקי הגבולות שהגדרנו מכיוון שאם נשתמש בחוק למכפלת גבולות $\lim _{x \to 0} \left( {x^2 \sin \frac{1}{x}} \right) = \lim _{x \to 0} \left( {x^2 } \right) \cdot \lim _{x \to 0} \left( {\sin \frac{1}{x}} \right)$ , נקבל את הגבול $\lim _{x \to 0} \left( {\sin \frac{1}{x}} \right)$ שאינו קיים (ראינו זאת כאשר דנו בהגדרה הלא מדויקת של הגבול). אך אין זה אומר שהגבול \lim _{x \to 0} \left( {x^2 \sin \frac{1}{x}} \right) אינו קיים. הבה ננסה לחשבו באמצעות כלל הסנדוויץ'. פונקצית הסינוס חסומה בין הישרים $y = 1$ ל- $y = - 1$ , כלומר:

הפונקציה ושתי הפונקציות החוסמות

$- 1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$ . נכפיל את כל אי-השיוויון ב- $x 2$ (מכיוון ש- $x$ הוא בחזקה זוגית, הוא בהכרח חיובי והסימנים לא ישתנו) ונקבל:

$- x^2 \le x^2 \sin \frac{1}{x} \le x^2$

נותר לנו רק למצוא את הגבול של הפונקציות החוסמות $x 2$ ו- $- x 2$ כאשר x שואף לאפס.

$\lim _{x \to 0} \left( { - x^2 } \right) = - 0^2 = 0$

$\lim _{x \to 0} \left( {x^2 } \right) = 0^2 = 0$

לכן, לפי כלל הסנדוויץ', $\lim _{x \to 0} \left( {x^2 \sin \frac{1}{x}} \right) = 0$ . הגרפים של שלושת הפונקציות מוצגים משמאל והם מאששים את מסקנתנו לגבי הגבול.

נסיים עם משפט שימושי נוסף לחישוב גבולות:

משפט:

אם $\ f(x)$ חסומה (כלומר $\left| {f\left( x \right)} \right| \le M$ כאשר M הוא החסם על הפונקציה) בסביבת $\ x = a$ וכן $\lim _{x \to a} g\left( x \right) = 0$ אזי $\lim _{x \to a} f\left( x \right)g\left( x \right) = 0$

דוגמה: נחשב את הגבול $\lim _{x \to 0} \left( {x \cdot \sin x} \right)$ תוך שימוש במשפט.

תשובה: מכיוון שהפונקציה $f\left( x \right) = \sin x$ חסומה בסביבת $x = 0$ (למעשה, הפונקציה חסומה בכל תחומה, אך המשפט נכון גם עבור פונקציות החסומות רק בסביבה הרלוונטית) וכן $\lim _{x \to 0} g\left( x \right) = \lim _{x \to 0} x = 0$ , בעזרת שימוש במשפט לעיל, נקבל $\lim _{x \to 0} f\left( x \right)g\left( x \right) = \lim _{x \to 0} \left( {x \cdot \sin x} \right) = 0$ . חישבנו גבול זה קודם לכן עם כלל הסנדוויץ' אך ניתן לראות כי יותר קל להשתמש במשפט הנ"ל במקרה הזה.