הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינדקס

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

האינדקס הבא הינו רשימת קישורים לכל המשפטים בחשבון אינפיניטסימלי אשר הוכחתם צריכה להופיע בספר ההוכחות המתמטיות, בפרק המתאים. חלק מהמשפטים ברשימה זו עדיין לא הוכחו בספר ולכן הקישור מוביל לעמוד ריק. השאיפה היא כי כל הקישורים ברשימה זו יובילו למאמרים מלאים, כלומר, כי כל המשפטים בעלי החשיבות לנושא יוכחו בספר.

תוכן עניינים 1 גבולות, סדרות ורציפות 1.1 גבולות 1.2 סדרות 1.3 רציפות 2 גזירות 3 אינטגרביליות 3.1 תכונות האינטגרל 3.2 שיטות אינטגרציה 4 טורים ומבחני התכנסות 5 שונות

[עריכה] גבולות, סדרות ורציפות

[עריכה] גבולות

אריתמטיקה של גבולות סופיים ומשפטים נוספים:

• גבול של סכום והפרש פונקציות

• גבול של מכפלה של פונקציה בקבוע

• גבול של מכפלת פונקציות

• גבול של מנת פונקציות

• גבול של פונקציה בחזקה

אריתמטיקה של גבולות אינסופיים:

• גבול של סכום פונקציות שאחת מהן שואפת למספר סופי והאחרת לאינסוף

• גבול של הפרש פונקציות שאחת מהן שואפת למספר סופי והאחרת לאינסוף

• גבול של מכפלת פונקציות כאשר לפחות אחת מהן שואפת לאינסוף

• גבול של מנת פונקציות כאשר פונקצית המכנה שואפת לאינסוף ופונקצית המונה שואפת למספר סופי

• ההופכי בערכו המוחלט לפונקציה השואפת לאפס

משפטים על גבולות:

• מונוטוניות של גבולות

• כלל הסנדוויץ'

• מכפלת פונקציה אפסה בפונקציה חסומה מתכנסת לאפס

• פונקציה שואפת לאפס אמ"מ הערך המוחלט שלה שואף לאפס

• גבול בנק' קיים אמ"מ הגבולות החד-צדדיים קיימים ושווים

• אם לפונקציה קיים גבול, הגבול יחיד

• שקילות הגדרת הגבול של קושי להגדרת הגבול של היינה

• חסימות ומונוטוניות גוררת קיום גבול סופי באינסוף

• פונקציה מונוטונית מקבלת גבול באינסוף במובן הרחב

• מונוטוניות בקטע סגור גוררת קיום גבולות חד-צדדיים בכל נקודה בקטע

• הגבול של sin(x)/x

[עריכה] סדרות

קריטריונים להתכנסות סדרות:

• מבחן המנה לסדרות

• מבחן השורש לסדרות

• משפט שטולץ

• התכנסות סדרה גוררת התכנסות של סדרות הממוצעים שלה

משפטים מרכזיים:

• סדרה מתכנסת לגבול אמ"מ כל תת-סדרה שלה מתכנסת לאותו הגבול

• הלמה של קנטור

• לכל סדרה קיימת תת-סדרה מונוטונית

• משפט בולצאנו-ויירשטראס

• סדרה מתכנסת אמ"מ היא סדרת קושי

[עריכה] רציפות

• אריתמטיקה והרכבה של פונקציות רציפות

• משפט ערך הביניים
• משפט קנטור לרציפות במידה שווה
• המשפט הראשון של ויירשטראס
• המשפט השני של ויירשטראס

[עריכה] גזירות

אריתמטיקה של נגזרות וכלל השרשרת:

• נגזרת של סכום והפרש פונקציות

• נגזרת של מכפלת פונקציה בקבוע

• נגזרת של מכפלת פונקציות

• נגזרת של מנת פונקציות

• כלל השרשרת

המשפטים היסודיים של החשבון הדיפרנציאלי:

• משפט פרמה

• משפט רול

• משפט הערך הממוצע של לגראנז'

• משפט הערך הממוצע של קושי

• משפט דארבו

משפטי גזירות:

• גזירות גוררת רציפות

• נגזרת פונקציה זוגית (אי-זוגית) היא פונקציה אי-זוגית (זוגית)

• נגזרת הפונקציה ההפוכה

• נוסחת לייבניץ לנגזרות מסדר גבוה

• התאפסות הנגזרת גוררת שהפונקציה קבועה

• שיוויון נגזרות בין פונקציות גורר שהפונקציות נבדלות בקבוע

• חיוביות (שליליות) הנגזרת גוררת שהפונקציה מונוטונית עולה (יורדת)

• כלל לופיטל

• שיטת ניוטון-רפסון (התכנסות והערכת שגיאה)

[עריכה] אינטגרביליות

[עריכה] תכונות האינטגרל

• אדיטיביות האינטגרל המסוים
• ליניאריות האינטגרל המסוים
• מונוטוניות האינטגרל המסוים
• אי-שוויון המשולש האינטגרלי
• חיוביות הפונקציה בקטע גוררת חיוביות האינטגרל
• חסימות הפונקציה מימין(משמאל) גורר חסימות האינטגרל המסוים שלה משמאל(מימין) ע"י החסם מוכפל באורך הקטע
• מונוטוניות גוררת אינטגרביליות
• רציפות גוררת אינטגרביליות

[עריכה] שיטות אינטגרציה

• המשפט היסודי של החדו"א
• אינטגרציה בהצבה
• אינטגרציה של פונ' זוגית/אי-זוגית סביב ראשית הצירים
• אינטגרציה בחלקים

• מבחן ההשוואה להתכנסות אינטגרל מוכלל

[עריכה] טורים ומבחני התכנסות

משפטים כלליים:

• התכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס

• התכנסות בהחלט גוררת התכנסות

מבחני התכנסות לטורים חיוביים:

• מבחן ההשוואה

• מבחן ההשוואה הגבולי

• מבחן האינטגרל

• מבחן המנה של ד'אלמבר

• מבחן השורש של קושי

• מבחן העיבוי (הדילול)

מבחני התכנסות לטורים כלליים:

• קריטריון קושי לטורים

• מבחן לייבניץ לטורים מתחלפים

• מבחן דיריכלה

• מבחן אבל

• מבחן ראבה

טורי פונקציות וטורי חזקות:

• משפט טיילור

• השארית לפי לגראנז', השארית לפי קושי

• גזירה (אינטגרציה) של טור חזקות שקולה לגזירה (אינטגרציה) איבר-איבר שלו

• נגזרות חסומות מבטיחות התכנסות

[עריכה] שונות

• אי-שוויון ינסן לפונקציות קמורות