הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/כלל לופיטל

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

< הוכחות מתמטיות | חשבון אינפיניטסימלי/גזירות

משפט: אם בסביבת הנקודה $a$ (פרט אולי ל- $a$ עצמה) $f$ ו- $g$ גזירות ומתקיים $g'\left( x \right) \ne 0$ , וכן $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = 0$ וגם $\lim _{x \to a} g\left( x \right) = 0$ , אז $\lim _{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \lim _{x \to a} \frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}$ אם הגבול $\lim _{x \to a} \frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}$ קיים (גם במובן הרחב).

הוכחה: נגדיר $L = \lim _{x \to a} \frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}$ ונראה $\lim _{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = L$ . כעת נגדיר את שתי הפונקציות הבאות:

$F(x)=\left\{\begin{matrix} f(x) & & x \ne a \\ 0 & & x = a \end{matrix}\right.$

$G(x)=\left\{\begin{matrix} g(x) & & x \ne a \\ 0 & & x = a \end{matrix}\right.$

מתקיים:

$\begin{array}{l} \lim _{x \to a} F\left( x \right) = \lim _{x \to a} f\left( x \right) = 0 = F\left( a \right) \\ \lim _{x \to a} G\left( x \right) = \lim _{x \to a} g\left( x \right) = 0 = G\left( a \right) \\ \end{array}$

ולכן הפונקציות $F$ ו- $G$ רציפות בסביבת הנקודה $a$ , כולל הנקודה $a$ . נתבונן בקטע $\left[ {a,x} \right]$ כאשר $x$ נמצא בסביבת הנקודה $a$ ומקיים $x > a$ . לפי הנ"ל, $F$ ו- $G$ רציפות בקטע $\left[ {a,x} \right]$ , גזירות בקטע $\left( {a,x} \right)$ ו- $G' \ne 0$ בקטע (מכיוון שבקטע פתוח זה, מתקיים $F' = f'$ וכן $G' = g'$ ). אזי, לפי משפט הערך הממוצע של קושי, קיים $y$ המקיים $a < y < x$ וכן:

$\frac{{F'\left( y \right)}}{{G'\left( y \right)}} = \frac{{F\left( x \right) - F\left( a \right)}}{{G\left( x \right) - G\left( a \right)}}$

מכיוון ש- $F\left( a \right) = 0$ וכן $G\left( a \right) = 0$ , מקבלים:

$\frac{{F'\left( y \right)}}{{G'\left( y \right)}} = \frac{{F\left( x \right) - 0}}{{G\left( x \right) - 0}} = \frac{{F\left( x \right)}}{{G\left( x \right)}}$ .

נשים לב כי כאשר $x \to a^ +$ , גם $y \to a^ +$ (מכיוון ש- $a < y < x$ ומקבלים זאת כתוצאה ישירה של כלל הסנדוויץ'). נשתמש בעובדה זו בחישוב הגבול הבא:

$\lim _{x \to a^ + } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \lim _{x \to a^ + } \frac{{F\left( x \right)}}{{G\left( x \right)}} = \lim _{y \to a^ + } \frac{{F'\left( y \right)}}{{G'\left( y \right)}} = \lim _{y \to a^ + } \frac{{f'\left( y \right)}}{{g'\left( y \right)}} = L$

באופן דומה, בעזרת קטע $\left[ {x,a} \right]$ מוכיחים כי $\lim _{x \to a^ - } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = L$ . אזי, $\lim _{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = L = \lim _{x \to a} \frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}$ . מ.ש.ל.

משפט: אם $f$ ו- $g$ גזירות ומתקיים $g'\left( x \right) \ne 0$ , וכן $\lim _{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = 0$ וגם $\lim _{x \to \pm \infty } g\left( x \right) = 0$ , אז $\lim _{x \to \pm \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \lim _{x \to \pm \infty } \frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}$ אם הגבול $\lim _{x \to \pm \infty } \frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}$ קיים (גם במובן הרחב).

הוכחה: יהי $t = \frac{1}{x}$ . בשלב הזה ההוכחה מתפצלת עבור המקרים $x \to + \infty$ ו- $x \to - \infty$ , כאשר ההבדל בעיקרו מתבטא רק בשלב הבא: אם $x \to \infty$ אז $t \to 0^ +$ (בהוכחה עבור $x \to - \infty$ , היינו מקבלים $t \to 0^ -$ .). נוכיח את המקרה $x \to \infty$ בלבד. אזי,

$\lim _{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \lim _{t \to 0^ + } \frac{{f\left( {1/t} \right)}}{{g\left( {1/t} \right)}}$

כעת נשתמש בכלל לופיטל עבור נקודה סופית, אותו הוכחנו לעיל.

$\lim _{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \lim _{t \to 0^ + } \frac{{f\left( {1/t} \right)}}{{g\left( {1/t} \right)}} = \lim _{t \to 0^ + } \frac{{f'\left( {1/t} \right)\left( { - 1/t^2 } \right)}}{{g'\left( {1/t} \right)\left( { - 1/t^2 } \right)}} = \lim _{t \to 0^ + } \frac{{f'\left( {1/t} \right)}}{{g'\left( {1/t} \right)}} = \lim _{x \to \infty } \frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}$

כדרוש. מ.ש.ל.

משפט: אם בסביבת הנקודה $a$ (פרט אולי ל- $a$ עצמה) $f$ ו- $g$ גזירות ומתקיים $g'\left( x \right) \ne 0$ , וכן $\lim _{x \to a} f\left( x \right) = \pm \infty$ וגם $\lim _{x \to a} g\left( x \right) = \pm \infty$ , אז $\lim _{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \lim _{x \to a} \frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}$ אם הגבול $\lim _{x \to a} \frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}$ קיים (גם במובן הרחב).

הוכחה: נרשום $\lim _{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \lim _{x \to a} \frac{{1/g\left( x \right)}}{{1/f\left( x \right)}}$ ובכך אנחנו מקבלים גבול מהצורה $0 / 0$ המקיים את כל תנאי כלל לופיטל עבור מקרה זה, אותו הוכחנו לעיל. נשתמש בכלל לופיטל ונקבל:

$\lim _{x \to a} \frac{{1/g\left( x \right)}}{{1/f\left( x \right)}} = \lim _{x \to a} \frac{{ - g'\left( x \right)/\left[ {g\left( x \right)} \right]^2 }}{{ - f'\left( x \right)/\left[ {f\left( x \right)} \right]^2 }}$

אזי, קיבלנו $\lim _{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \lim _{x \to a} \frac{{g'\left( x \right)\left[ {f\left( x \right)} \right]^2 }}{{f'\left( x \right)\left[ {g\left( x \right)} \right]^2 }}$ .

על ידי מניפולציה אלגברית פשוטה, אנו מקבלים:

$\lim _{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \cdot \frac{{\left[ {g\left( x \right)} \right]^2 }}{{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2 }} = \lim _{x \to a} \frac{{g'\left( x \right)\left[ {f\left( x \right)} \right]^2 }}{{f'\left( x \right)\left[ {g\left( x \right)} \right]^2 }} \cdot \frac{{\left[ {g\left( x \right)} \right]^2 }}{{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2 }}$

ומכך נובע:

$\lim _{x \to a} \frac{{g\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \lim _{x \to a} \frac{{g'\left( x \right)}}{{f'\left( x \right)}}$

כיוון ש- $f$ ו- $g$ שואפים ל- $\pm \infty$ , אנו מקבלים $\lim _{x \to a} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \lim _{x \to a} \frac{{f'\left( x \right)}}{{g'\left( x \right)}}$ , כדרוש. מ.ש.ל.

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/כלל לופיטל

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

צפיות

כלים אישיים

ניווט

קהילה

חיפוש

תיבת כלים

הדפסה/ייצוא