הוכחות מתמטיות
 |
ספר זה טרם הושלם ונמצא עדיין בכתיבה. ייתכן שחסרים בו פרקים, או אף נושאים שלמים. לפיכך, כרגע לא ניתן ללמוד ממנו על כל הנושא בצורה מקיפה. כמו בכל אחד מהספרים, מהדפים ומהנושאים בוויקיספר, גם כאן אתם מוזמנים להוסיף את הפרקים שלדעתכם חסרים. כל פעולה שעשויה לעזור תתקבל בברכה, כולל הערות ובקשות בדף השיחה של הספר. |
מהו ספר זה?
[עריכה]ספר זה, כשמו כן הוא, ספר שנועד לאגד הוכחות מתמטיות של משפטים ולמות משלל הנושאים במתמטיקה. בראש ובראשונה, המטרה היא להקל על כובדם של ספרים המתרכזים בנושאים ספציפיים במתמטיקה, כך שיוכלו להתרכז בעיקר בהעברת החומר, ובמידת הצורך רק יפנו להוכחת המשפט או הטענה הרלוונטית בספר זה. מטרה נוספת בספר זה היא להביא לכך שכל אדם אשר מעוניין לעבור על הוכחתו של משפט כלשהו, יהיה לו מקום בעל גישה נוחה לקרוא שם את ההוכחה. הנחת היסוד היא שהוכחות מתמטיות הן "אוניברסליות" וכי כל אדם אשר מכיר את טיב ההוכחה ופרטיה מסוגל להשתתף בכתיבת הספר, בשעה שכדי להשתתף בכתיבה של ספר מתמטי על נושא רחב כלשהו, יש צורך ביכולות כתיבה ולימוד שהן מעבר לידע של הוכחה מתמטית.
נכון לעכשיו, הספר ממוקד בהוכחות מתמטיות משני תחומים מתמטיים מרכזיים: חשבון אינפיניטסימלי של פונקציות ממשיות במשתנה אחד ואלגברה ליניארית. הסיבה לכך היא שאלו הם תחומים אלמנטריים יחסית אשר הקורסים בנושאים אלו מהווים בסיס ללימודים לתואר ראשון במתמטיקה או בחוגים אחרים. ראוי לזכור כי הוכחות של משפטים מטבעם נשענים על נכונותם של משפטים בסיסיים יותר ולכן מומלץ שמשפטים או למות שהוכחת משפט כלשהו נשענת עליהן יוכחו לפני כן, בחלק מוקדם יותר בספר או בפרק. כידוע, למשפטים רבים במתמטיקה יש יותר מהוכחה יחידה ולעיתים עשרות הוכחות שונות. זה בסדר גמור ואין שום דבר רע בכך שבספר יהיו מספר הוכחות שונות לאותו המשפט. נהפוך הוא: כל המרבה, הרי זה משובח!
הספר, נכון לעכשיו, הוא כמעט ריק לגמרי אך הקורא מוזמן לתרום לספר בכל נושא שהוא וייתכן כי בעתיד הספר יהפך לאנציקלופדיה עבת-כרס של הוכחות מתמטיות. גם אם הקורא אינו מעוניין לתרום לספר, הוא מוזמן לקרוא תכניו ולהעיר בכל מקרה בו חלק מסוים בהוכחה הוא אינו ברור. אנו נשתדל שכל ההוכחות יהיו ברורות במידת האפשרות, בלי לחסוך במילים.
עם זאת, בספר זה, אנו מניחים כי הקורא בקיא בנושאים המתמטיים הקשורים להוכחות. בהוכחת משפט כלשהו, הקורא מצופה לדעת ולהבין את המשפטים הקודמים עליהם הוכחת המשפט מתבססת ואת הכלים המתמטיים בהם משתמשת ההוכחה, בין אם הם בעלי קשר לנושא או כלליים (למשל, אינדוקציה מתמטית).
אנו מאחלים לקורא קריאה פורה ונעימה בספר!
מה ספר זה אינו?
[עריכה]ספר זה הוא בפירוש לא חוברת תרגילים! למטרה זו, ניתן ליצור ספרים מתאימים בנושאים השונים או לכלול דפי תרגילים בספרים הקיימים. נציין כי לעיתים ההבדל בין הוכחה של משפט מתמטי לבין תרגיל חישובי גרידא הוא מעורפל. במקרים שכאלו, ניתן לקיים דיון ולקבוע האם ההוכחה ראויה להיות בספר זה או לא.
ספר זה אינו מיועד לרכז הגדרות או לפתח נושאים מתמטיים. הוא נועד להוות מאגר של הוכחות מתמטיות בנושאים שונים וככזה, לא ניתן ללמוד ממנו על נושאים שלמים במתמטיקה.
מבנה הספר
[עריכה]הספר לא נועד להתרכז בנושא מתמטי מסוים אלא בהוכחות משלל נושאים למיניהם. נכון לעכשיו, קיים בספר שלד כללי למיון הוכחות מתמטיות בחשבון אינפיניטסימלי של פונקציות במשתנה אחד ואלגברה ליניארית. הקורא מוזמן להוסיף נושאים אחרים והוכחות בנושאים אלו כאוות נפשו, אך נציין כי תורות מתמטיות רבות מתבססות, בחלקן לפחות, על שני הנושאים לעיל.
כל נושא בספר הוא פרק אשר מחולק לתתי-פרקים בנושא זה. בכל פרק (נושא) קיים קישור לאינדקס בו ניתן למצוא רשימת קישורים לכל המשפטים אשר הפרק כולל את הוכחתם או שואף לכלול אותה. הקורא מוזמן להוסיף משפטים נוספים לאינדקס זה, אם נדמה לו כי האינדקס אינו מקיף את כל המשפטים בחומר.
הנושאים בספר זה:
חשבון אינפיניטסימלי
[עריכה]הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/אינדקס
אלגברה ליניארית
[עריכה]- מושג השדה, מטריצות, מערכות משוואות
- מרחבים וקטוריים, בסיס וממד
- העתקות ליניאריות, דטרמיננטים
- ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
הוכחות מתמטיות/אלגברה ליניארית/אינדקס
תורת הקבוצות
[עריכה]- למת נקודת השבת
- משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין
- איחוד קבוצות בנות מניה בן מניה
- האלכסון של קנטור ועוצמת הממשיים
- משפט דדקינד
- משפט קנטור
- משפט האינדקוציה הטרנספיניטית
- משפט הסדר הטוב
- השקילות בין אקסיומת הבחירה, משפט הסדר הטוב, הלמה של צורן ועקרון המקסימום של האוסדורף
הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/אינדקס