הוכחות מתמטיות/שונות/שורש 2

מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

טענה: המספר $\ \sqrt{2}$ אינו רציונלי, כלומר $\ \sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}$ .
הוכחה: לשם כך ניעזר בלֶמה (משפט עזר):

[עריכה] למת עזר: אם $\ n^2$ זוגי, אזי: $\ n$ זוגי.

הוכחת הלמה:
יהא $\ n$ מספר זוגי כלשהו, אז נוכל לרשום אותו באופן הבא: $\ n=2\times k$ , כאשר $\ k\in\mathbb{Z}$ . ואז: $\ n^2 =\left( 2k \right) ^2 =4k^2$ , וכמובן ש- $\ 4k^2$ הוא מספר זוגי.
יהא כעת $\ n$ מספר אי-זוגי כלשהו. אז נוכל לרשום אותו באופן הבא: $\ n=2k+1$ , כאשר $\ k\in\mathbb{Z}$ . ואז נקבל: $\ n^2 = \left( 2k+1 \right) ^2 = \underbrace{ 4k^2 }_{(*)} + \underbrace{ 4k }_{(*)} +1=(**)$
כל אחד מהביטויים (*) הוא זוגי, לכן סכומם זוגי. נוסיף להם $\ 1$ , ונקבל שהביטוי (**) הוא אי זוגי. לכן, האפשרות היחידה עבור מספר $\ n^2$ כלשהו להיות זוגי, הוא אם $\ n$ עצמו זוגי. ▪

[עריכה] הוכחת הטענה

הוכחה: נניח בשלילה כי $\ \sqrt{2}\in\mathbb{Q}$ , כלומר רציונלי, ונגיע לסתירה:
$\ \Leftarrow \sqrt{2}\in\mathbb{Q}$ ניתן לכתוב את $\sqrt{2}$ כשבר מצומצם (מהגדרת $\ \mathbb{Q}$ ), כלומר: $\ \sqrt{2} = \frac{m}{n} \left( * \right)$ עבור $\ m,n$ שלמים כלשהם.
נעלה כעת את הביטוי (*) בריבוע. נקבל: $\ \left( \sqrt{2} \right) ^2 = 2=\left( \frac{m}{n} \right) ^2 =\frac{m^2}{n^2}$ . $\ (**) 2n^2 = m^2 \Leftarrow$ $\ m^2 \Leftarrow$ מספר זוגי $\ m \Leftarrow$ מספר זוגי (לפי הלמה) $\ \Leftarrow$ נוכל לכתוב: $\ m=2p$ (עבור $p\in\mathbb{Z}$ מסויים).
כעת, נרשום את הביטוי האחרון (**) באופן הבא: $\ 2n^2 =m^2 = \left( 2p \right) ^2 =4p^2$ $\ \not 2 n^2 =_2\not 4 p^2\Leftarrow$ $\ n^2 = 2p^2 \Leftarrow$ $\ n^2 \Leftarrow$ מספר זוגי $\ n \Leftarrow$ מספר זוגי! (לפי הלמה).
אבל: הסקנו מוקדם יותר ש- $\ m$ הוא מספר זוגי, וכעת הסקנו ש- $\ n$ הוא מספר זוגי, וזוהי סתירה להנחה ש- $\ \frac{m}{n}$ שבר מצומצם! $\ \sqrt 2 \Leftarrow$ אינו מספר רציונלי, והטענה הוכחה. ▪