חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/הגדרת הנגזרת

שיפוע של פונקציה לא ליאנרית

לפונקציות לא ליאנריות השיפוע אינו קבוע, מכיוון שאם נבחר שתי נקודות עליה ונחשב את השיפוע ואז נבחר שתי נקודות אחרות עליה לא תמיד נקבל אותה תוצאה
הנוסחה היא כנלמד $m={y_{2}-y_{1} \over x_{2}-x_{1}}$
נכליל לפונקציה רגילה:נסמן ב$\Delta x$ את המהרחק בין שני הנקודות על ציר הX ובf את הפונקציה
$m={f(\Delta x+x)-f(x) \over \Delta x}$

הגדרת הנגזרת

ככל ש $\Delta x$ קטן הישר העובר דרך שתי הנקודות מתקרב למשיק ולכן המשיק הוא הגבול
נסכם ונגדיר את הנגזרת כשיפוע שתי נקודות על פונקציה המתלכדות,כלומר של נקודה אחת $f'\left(x\right)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}}$

דוגמות

גזור את הפונקציה $y=x^{2}$

תשובה

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {{\left(x+\Delta x\right)}^{2}-{x}^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{{\frac {2x\Delta x+{\Delta x}^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {2x\Delta x}{\Delta x}}}+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {{\Delta x}^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{2x}+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\Delta x}=2x+0=2x$