תורת ההסתברות/פרק 4

משל הקופים והאינטרנט

יושב קוף מול מקלדת ומקליד בכל שנייה תו אקראי. ההסתברות אחידה. ההקלדות בת"ל זו בזו. הקוף ממשיך לנצח.

1. האם מתישהו הקוף הקליד את פצפונת ואנטון?
2. האם מתישהו הקוף הקליד את הפיתוח העשרוני של $\Pi$ ?

מכפלה של מרחבי הסתברות

יהו $\displaystyle (\Omega _{1},F_{1},P_{1})$, $(\displaystyle \Omega _{2},F_{2},P_{2})$ מרחבי הסתברות כלשהם.
נגדיר מרחב הסתברות חדש: $(\Omega _{1}\times \Omega _{2},F_{1}\otimes F_{2},P_{1}\otimes P_{2})$
נגדיר את F להיות הסיגמא-אלגברה המינימלית המכילה את F1 ו F2:
$F_{1}\otimes F_{2}=\sigma (\left\{A_{1}\times A_{2}:A_{1}\in F_{1},A_{2}\in F_{2}\right\})$

הגדרה: עבור $A_{1}\in F_{1},A_{2}\in F_{2}$ מוגדר: $(P_{1}\otimes P_{2})(A_{1}\times A_{2}):=P_{1}(A_{1})P_{2}(A_{2})$

משפט: קיימת הרחבה יחידה של $P_{1}\otimes P_{2}$ לפונקציית הסתברות על $F_{1}\otimes F_{2}$

מכפלה בת מניה של מרחבי הסתברות

כך ניתן להגדיר מכפלה לכל אוסף בן מניה של מרחבי הסתברות.

יהיו $\displaystyle (\Omega _{1},F_{1},P_{1}),(\Omega _{2},F_{2},P_{2}),...$ אוסף בן מניה של מרחבי הסתברות.
נגדיר את מכפלתם $\displaystyle (\Omega ,F,P)$ כך:
$\Omega =\Omega _{1}\times \Omega _{2}\times \Omega _{3}\times ...=\left\{collection\,of\,sequencesw:w_{n}\in \Omega _{n}\right\}$

הגדרה: מאורע צילינדר הוא $A\subset \Sigma$ כך שקיימים $A_{1}\in F_{1},>A_{2}\in F_{2},>A_{3}\in F_{3}...,>A_{n}\in F_{n}$
כך ש: $A=A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times ...\times A_{n}\times \Sigma _{n+1}\times \Sigma _{n+2}\times ...$

F תהיה הסיגמא אלגברה הקטנה ביותר הכוללת את כל מאורעות הצילינדר.

נגדיר את P: אם $A=A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times ...\times A_{n}\times \Sigma _{n+1}\times \Sigma _{n+2}\times ...$ מאורע צילנדר אזי נגדיר:
$\displaystyle P(A)=P_{1}(A_{1})P_{2}(A_{2})P_{3}(A_{3})...P_{n}(A_{n})$

משפט: קיימת הרחבה יחידה של P על F. זהו משפט מתורת המידה.