לדלג לתוכן

תורת ההסתברות/פרק 3

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

הסתברות מותנית, נוסחת בייס ואי תלות

[עריכה]

הגדרה: יהי מרחב הסתברות, ויהיו A,B מאורעות. נניח ש P(B)>0. ההסתבאות של A בהינתן B מסומנת ע"י ומוגדרת להיות
ההסתברות המותנית לא מוגדרת אם P(B) = 0

דוגמא: בכד ישנם n כדורים לבנים ו- k שחורים. מוישה מוציא כדור ולא מחזיר, ואחיו אברם מוציא כדור.

  1. מה הסיכוי שאברם הוציא כדור שחור?
  2. מה הסיכוי שאברם הוציא כדור שחור בהינתן שמוישה הוציא כדור שחור?

מרחב ההסתברות:

ההתפלגות אחידה.

מאורעות:










משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות.

משפט: ההסתברות השלמה: תהי חלוקה של (כלומר זרים בדוגות ומתקיים נניח בנוסף ש- לכל k בין 1 ל- n. אז לכל מתקיים

נוסחת בייס (Bayes) יהו ונניח ש- ו
אז

אי תלות:

[עריכה]

נאמר שמאורע A בלתי תלוי ב B אם הידיעה ש-A התרחש לא משפיעה על הסיכוי של B להתרחש. כלומר נרצה לומר ש A בת"ל ב B אם

הגדרה (פורמלית) מאורעות A,B בלתי תלויים אם:

עובדות בסיסיות:

  1. אם אזי A ו-B בלתי תלויים.
  2. אם A ו-B בלתי תלויים אז ו- B בלתי תלויים.
  3. אם P(A)=1 אז A ו-B תלויים.
  4. אם A בלתי תלוי ב-B ו-A בלתי תלוי ב-C ו אז A בלתי תלוי ב-


אי תלות של מספר מאורעות

[עריכה]

הגדרה: יהי מרחב הסתברות ויהיו מאורעות.
אנו אומרים ש- הם בת"ל אם לכל מתקיים
עבור ,

הגדרה שקולה: הם בת"ל אם לכל כך ש - זרים, בת"ל ב

הגדרה: יהי B אוסף של מאורעות. נאמר ש-B הינו אוסף בלתי תלוי אם לכל תת אוסף סופי הוא אוסף בת"ל.

הגדרה: נאמר ש- הם בלתי תלויים בזוגות אם לכל מתקיים ש הם בלתי תלויים.

(אם הם בת"ל הם בת"ל בזוגות)

דוגמא אוסף מאורעות בת"ל בזוגות ולא בת"ל:


P אחידה.