הסתברות מותנית, נוסחת בייס ואי תלות
[עריכה]
הגדרה: יהי מרחב הסתברות, ויהיו A,B מאורעות. נניח ש P(B)>0. ההסתבאות של A בהינתן B מסומנת ע"י ומוגדרת להיות
ההסתברות המותנית לא מוגדרת אם P(B) = 0
דוגמא: בכד ישנם n כדורים לבנים ו- k שחורים. מוישה מוציא כדור ולא מחזיר, ואחיו אברם מוציא כדור.
- מה הסיכוי שאברם הוציא כדור שחור?
- מה הסיכוי שאברם הוציא כדור שחור בהינתן שמוישה הוציא כדור שחור?
מרחב ההסתברות:
ההתפלגות אחידה.
מאורעות:
משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות.
משפט: ההסתברות השלמה: תהי חלוקה של (כלומר זרים בדוגות ומתקיים נניח בנוסף ש- לכל k בין 1 ל- n.
אז לכל מתקיים
נוסחת בייס (Bayes)
יהו ונניח ש- ו
אז
נאמר שמאורע A בלתי תלוי ב B אם הידיעה ש-A התרחש לא משפיעה על הסיכוי של B להתרחש. כלומר נרצה לומר ש A בת"ל ב B אם
הגדרה (פורמלית) מאורעות A,B בלתי תלויים אם:
עובדות בסיסיות:
- אם אזי A ו-B בלתי תלויים.
- אם A ו-B בלתי תלויים אז ו- B בלתי תלויים.
- אם P(A)=1 אז A ו-B תלויים.
- אם A בלתי תלוי ב-B ו-A בלתי תלוי ב-C ו אז A בלתי תלוי ב-
אי תלות של מספר מאורעות
[עריכה]
הגדרה: יהי מרחב הסתברות ויהיו מאורעות.
אנו אומרים ש- הם בת"ל אם לכל מתקיים
עבור ,
הגדרה שקולה: הם בת"ל אם לכל כך ש - זרים, בת"ל ב
הגדרה: יהי B אוסף של מאורעות. נאמר ש-B הינו אוסף בלתי תלוי אם לכל תת אוסף סופי הוא אוסף בת"ל.
הגדרה: נאמר ש- הם בלתי תלויים בזוגות אם לכל מתקיים ש הם בלתי תלויים.
(אם הם בת"ל הם בת"ל בזוגות)
דוגמא אוסף מאורעות בת"ל בזוגות ולא בת"ל:
P אחידה.