אינפי של מרחבי הסתברות
[עריכה]
תהי ![{\displaystyle \displaystyle \left\{A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3489efa6d290fac07ee593655d4042836559931)
הגדרה: ![{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}=\cap _{k=1}^{\infty }\cup _{n=k}^{\infty }A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c01d97627b316528227583ed51e2e6fca08ed0)
משפט:
- אם
לכל
אז ![{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}\in F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e9a3075767bd4d19fc5690e65b70d8871c33a68)
- אם
לכל
אז ![{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}\in F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6670b88fc840380562cc25013dcc3caf164efa8)
![{\displaystyle liminf_{n\rightarrow \infty }A_{n}\subset \limsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/703c3d4b969d71bce62324748974430a83d65f59)
הגדרה: תהי
סדרת קבוצות.
אם
אז נאמר שהסדרה מתכנסת ו-
הגדרה חילופית: נניח ש-
לכל
. לכל
נתאים את הפונקציה המציינת
נסמן
,
אזי לכל
:
![{\displaystyle {\mathfrak {x}}_{\bar {A}}=\limsup {\mathfrak {x}}_{A_{n}}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a3226b37a744519541cf367c21d87518c68023c)
היא קבוצת כל ה-xים שמופיעים באינסוף מאיברי הסדרה.
היא קבוצת כל ה-xים שמופיעים בכל איברי הסדרה פרט, אולי למספר סופי.
משפט: תהי
סדרה עולה של מאורעות. כלומר, לכל
:
ו-
.
אז:
.
משפט: תהי
סדרה יורדת של מאורעות. כלומר, לכל
:
ו-
.
אז:
.
משפט: רציפות פונקציית ההסתברות: תהי
סדרה מתכנסת של מאורעות ונסמן
. אז:
טענה: לשני מאורעות A,B במרחב הסתברות
מתקיים:
פרדוקס יום ההולדת:
בשנה יש m=365 ימים. נתונים n אנשים. מה הסיכוי שלאף שניים אין יום הולדת באותו היום?
אם n>m הסיכוי או אפס.
מרחב המדגם:
, ![{\displaystyle \Omega =\left\{\Omega _{1}\times \Omega _{2}\times \cdots \times \Omega _{n}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb127344ca1f05207469b4cc3d8579143ff889af)
![{\displaystyle F=2^{\Omega }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4679adddb581243157bf29a7fad917c512c2eb5)
לכל
![{\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b78a0b8f1e22062a539ed83ab020143a0f55cb)