תורת ההסתברות/פרק 1

מרחב ההסתברות

מרחב ההסתברות הוא שלשה:

$\displaystyle (\Omega ,F,P)$
$\Omega$ נקראת "מרחב המדגם", F היא אוסף של תת קבוצות שהן "סיגמא-אלגברה" ו-P היא פונקציית ההסתברות.

הגדרה: סיגמא אלגברה היא אוסף F של תתי קבוצות מקבוצה $\Omega$ המקיים:

1. $\emptyset \in F,\Omega \in F$
2. אם $A\in F$ אז $A^{c}\in A$
3. אם $A_{1},A_{2},\cdots \in F$ אז $\cup _{n=1}^{\infty }\in F$

טענות:

• אם $A_{1}\in F,A_{2}\in F$ אז $A_{1}\cup A_{2}\in F$
• אם $A_{1},A_{2},\cdots \in F$ אזי $\cap _{n=1}^{\infty }\in F$
• אם $A_{1},A_{2}\in F$ אז $A_{1}\cap A_{2}\in F$

עובדות:

• אם $A_{1}\cap A_{2}=\emptyset$ אז $P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})$
• אם $A\subset B$ אז $P(A)\leq P(B)$

הגדרה: התפלגות אחידה - תהי $\Omega$ מרחב מדגם סופי. התפלגות אחידה של $\Omega$ היא מרחב הסתברות כאשר $F=2^{\Omega }$, ולכל $A\in F$
$P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}$

מרחבי הסתברות רציפים

דוגמא: בחירה של נקודה אקראית ההמוגרלת באופן אחיד בקטע [0,1].
מרחב המדגם: [0,1].
אוסף המאורעות: הסיגמא אלגברה המינימלית המכילה את כל הקטעים ב [0,1].
מהי ההסתברות P? לכל קטע [a,b] המקיים $0\leq a<b\leq 1$ ההסתברות היא: $P([a,b])={\frac {b-a}{1-0}}=b-a$
תהי $X_{0}\in [0,1]$ מהי $\displaystyle P(x_{0})$?

טענה: $A\subset B\Rightarrow P(A)\leq P(B)$

מכאן קיים $x_{0}\in [x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon ]$.
$P([x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon ])=2\varepsilon$. לכן:
$P(x_{0})\leq 2\varepsilon$ לכל אפסילון ומכאן שווה ל-0. משפט: קיימת הרחבה יחידה של P ל- F. כלומר, קיימת פפונקציה יחידה $P:F\rightarrow [0,1]$ שגם היא מקיימת את הדרישות מהשיעור הקודם וגם מקיימת שלכל קטע $[a,b]\subset [0,1]$,$\displaystyle P([a,b])=b-a$

דוגמא: נטיל מטבע הוגן. אם יצא עץ, נבחר נקודה בקטע [0,2/3], אם יצא פאלי נבחר נקודה בקטע [2/3,1].
מהי P? יהי [a,b] קטע אזי:
אם b<=2/3 אז: $P([a,b])={\frac {1}{2}}{\frac {b-a}{2/3}}$
אם a>=2/3 אז: $P([a,b])={\frac {1}{2}}{\frac {b-a}{1/3}}$
אם a>2/3<b אז: $\displaystyle P([a,b])=P([a,2/3])+P[2/3,b])$

נראה שעבור כל נקודה ההסתברות זהה בשתי הדוגמאות אבל פונקציית ההסתברות שונה. מכאן פונקציית ההסתברות לא נקבעת באופן יחיד עבור הערך בכל נקודה. אם מרחב המדגם סופי- כן נקבעת.