תורת הבקרה/שיטת לוקוס השורשים

בשיטת לוקוס השורשים (RL - Root-Locus) מתארים באופן גרפי את תזוזת שורשי הפולינום האופייני (קטבי התמסורת) כתלות בהגבר הקבוע. בהינתן פונקצית תמסורת של החוג הפתוח, בעזרת שיטת לוקוס השורשים ניתן למצוא את מיקום קטבי החוג הסגור עבור הגבר כלשהו. שיטה זו שימושית במערכות מסוג SISO. התיאור הגרפי מראה את התנהגות היציבות של המערכת וחוסך חישוב נקודתי של ערכי השורשים עבור כל שינוי של ההגבר. השיטה נקראת כך משום שעבור כל ערך של ההגבר משרטטים את מיקום השורשים, כך שמתקבל לוקוס התזוזות של השורשים על גבי מישור s.

מתוך אנליזת RL ניתן לבחור את גודל הפרמטר (הגבר, קוטב, אפס) כך שיעניק למערכת את ההתנהגות הרצויה לנו.

אבחנות

מערכת עם משוב כללי H.

על פי הגדרה, משרטטים לוקוסים עבור הפוקנציה GH. כך למשל, אם נרצה לקבל במטלאב את גרף ה-Root Locus של המערכת שבאיור, נזין את הפונקציה GH.

$\ G_{CL}={C(s) \over R(s)}={KG(s) \over 1+KG(s)H(s)}$

נניח כי:

$\ KG(s)H(s)=K{B(s) \over A(s)}=K{\frac {s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+...+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{0}}}=K{\frac {(s+z_{1})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})\cdots (s+p_{n})}}$

כדאי לדעת: $\ a_{n-1}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\quad ;\quad b_{m-1}=\sum _{i=1}^{m}z_{i}\quad ;\quad a_{0}=\prod _{i=1}^{n}(-p_{i})$

ולכן פונקצית התמסורת הכללית מקבלת את הצורה:

$\ G_{CL}={KG(s) \over 1+KG(s)H(s)}={KB(s) \over A(s)+KB(s)}$

לכן המשוואה האופיינית תתקבל מהשוואת המכנה של הביטוי האחרון לאפס:

$\ {\mbox{Characteristic equation:}}\quad {\begin{cases}1+KG(s)H(s)=0\\\qquad {\mbox{or}}\\A(s)+KB(s)=0\end{cases}}$

כעת ניתן לשרטט את הלוקוס של הקטבים כתלות ב-K. האבחנות הראשונות שנבצע יהיו עבור מקרי קיצון:

• עבור $\ K\to 0$ קטבי התמסורת יתקרבו לשורשים של A (קטבי התמסורת).
• עבור $\ K\to \infty$ קטבי התמסורת יתקרבו לשורשים של B (אפסי התמסורת).

אם כן, בשיטת לוקוס השורשים של מערכת בחוג סגור, נתחיל במציאת קטבי התמסורת של החוג הפתוח (A) ונסיים במציאת אפסי התמסורת של החוג הפתוח (B), כאשר K נע בין אפס לאינסוף, בהתאמה.

סיכום

אם המערכת הנידונה היא מהצורה של משוב כללי H (איור 1), אז:

• אנליזת Root-Locus על הפונקציה GH מתבצעת באמצעות המשוואה $\ 1+KGH=0$.
• המשוואה האופיינית מתקבלת מהשוואת הביטוי $\ 1+KGH$ לאפס, או לחילופין השוואת הביטוי $\ A(s)+KB(s)$ לאפס.
• עבור K=0, קטבי התמסורת מתלכדים עם קטבי GH.
• מספר הענפים שווה ל-n, כלומר לסדר הפולינום במכנה התמסורת של החוג הסגור. כל ענף הוא המקום גאומטרי במישור s עליו נע קוטב של חוג הסגור, כתלות בהגבר K.

שימו לב: עבור K<0 נקבל תנאים "הפוכים". לפרטים, הביטו בסעיף העוסק בכך.

קריטריון ההגבר וקריטריון הפאזה

שימו לב: נסמן $\ {\bar {G}}=KGH$

כזכור, המשוואה האופיינית מתקבלת מהשוואת המכנה של פונקצית התמסורת הכללית לאפס: $\ 1+{\bar {G}}(s)=0$. לכן כל נקודה s_RL במישור s הנמצאת על לוקוסי השורשים מקיימת:

$\ {\bar {G}}(s_{RL})=-1$

מתנאי זה ניתן לקבל את קריטריון ההגבר וקריטריון הפאזה.

קריטריון ההגבר

מהביטוי האחרון מתקבל כי כל נקודה s_RL על לוקוס השורשים מקיימת:

$\ |{\bar {G}}(s_{RL})|=K{\frac {\prod \limits _{i=1}^{m}|s_{RL}+z_{i}|}{\prod \limits _{i=1}^{n}|s_{RL}+p_{i}|}}=1$

כאשר z_i, p_i הם אפסי הפולינומים A, B בהתאמה.

מכאן ניתן לחשב את K במקרה ששאר הפרמטרים ידועים, או לחשב את מיקום השורשים על הלוקוס, עבור K מסוים.

כדאי לדעת: אם הפולינומים A,B מוגדרים כמכפלת הגורמים (s-pi),(s-zi) אז גם בקריטריון ההגבר (וגם בקריטריון הפאזה) הגורמים יופיעו עם סימן "-", ולא עם סימן "+" כפי שמופיע כאן.

קריטריון הפאזה

כמו כן, כל נקודה s_RL על לוקוס השורשים מקיימת:

$\ \arg {\bar {G}}(s_{RL})=\sum _{i=1}^{m}\arg(s_{RL}+z_{i})-\sum _{i=1}^{n}\arg(s_{RL}+p_{i})={\begin{cases}(2k+1)\pi ,&K>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2...\\2k\pi ,&K<0,\ k=0,\pm 1,\pm 2...\end{cases}}$

כאשר z_i, p_i הם אפסי הפולינומים A, B בהתאמה.

כלומר עבור K>0, ההפרש בין סכום הזוויות מהאפסים לנקודה לבין סכום הזויות מהקטבים לנקודה צריך להיות שווה לכפולה אי זוגית של 180°.

כדאי לדעת: שימו לב כי $\ \left.\arg {\bar {G}}(s)\right|_{s=s_{RL}}=\left.\arg G(s)H(s)\right|_{s=s_{RL}}$.

אסימפטוטות

עבור m=n כל הענפים נסגרים, כלומר כל הקטבים עוברים לאפסים. כאשר m<n, יש n-m ענפים הבורחים לאינסוף, ולכן גם n-m אסימפטוטות. לסיכום:

מספר האסימפטוטות שווה ל: n-m.

זוויות האסימפטוטות

מחוק הפאזה מתקבל כי הזויות φ של האסימפטוטות נתונות על ידי:

$\ {\begin{cases}K>0\ :&\phi _{k}={\frac {(2k+1)\pi }{n-m}}\\K<0\ :&\phi _{k}={\frac {2k\pi }{n-m}}\end{cases}}\ ,\quad k=0,1,2...(n-m-1)$

כלומר יש n-m אסימפטוטות (שהן קווים ישרים) בזוויות φ_k, והאסימפטוטות סימטריות ביחס לציר הממשי.

מוצא האסימפטוטות

האסימפטוטות יוצאות מאותה נקודה (על הציר הממשי) המהווה את "מרכז הכובד" של הקטבים והאפסים: $\ s_{CG}=-{\frac {b_{m-1}-a_{n-1}}{n-m}}={\sum \limits _{i=1}^{n}p_{i}-\sum \limits _{i=1}^{m}z_{i} \over n-m}$, כאשר p,z הם ערכי האפסים והקטבים בהתאמה, ו-a,b הם מקדמים במנת הפולינומים A,B המרכיבים את ${\bar {G}}(s)$ (ראו בסעיף האבחנות).

כדאי לדעת: לעתים בספרות רשום $\ s_{CG}={\sum \limits _{i=1}^{n}{\mbox{Re}}(p_{i})-\sum \limits _{i=1}^{m}{\mbox{Re}}(z_{i}) \over n-m}$, אך מכיוון שהקטבים המרוכבים באים בזוגות צמודים, כל החלקים המדומים מצטמצמים.

התפצלות לוקוסים

נקודות התפצלות הן נקודות בהן קיים קוטב מריבוי 2 ומעלה.

התפצלות מן הציר הממשי

מהמשוואה האופיינית ניתן לקבל את התנאי $\ {d \over ds}{\bar {G}}(s)=0\quad \Rightarrow \quad {dK \over ds}=0$. כלומר כל נקודת התפצלות ("עזיבה") היא מקסימום (או מינימום) של K עבורו השורש עדיין ממשי. שימו לב כי לא כל הנקודות המאפסות את הנגזרת הן נקודות עזיבה מאחר ועליהן לקיים גם את המשוואה האופיינית. כלומר מבין כל הנקודות המתקבלות מהשוואת הנגזרת לאפס, נקודות העזיבה הן רק אלו אשר מקיימות גם את המשוואה האופיינית.

כדאי לדעת: ניתן להשתמש במשוואה האנלוגית: $\ {d \over ds}\left[{1 \over G(s)H(s)}\right]=0$.

זוויות יציאה והגעה

יש לחשב את זווית היציאה מכל קוטב ואת זווית ההגעה לכל אפס.

זווית עזיבה והגעה בציר הממשי

במקרה פשוט זה, בו הלוקוס עוזב את הציר הממשי (או מגיע אליו), הזווית בין הענפים נתונה על ידי:

$\ \phi ={\frac {360^{o}}{r}}$

כאשר r הוא ריבוי השורשים באותה נקודה. אם r=2, כאשר הקטבים מתקרבים לנקודת העזיבה על הציר הממשי, הזווית ביניהם היא אכן 180°, וכאשר הם מתפצלים, הזווית צריכה להיות גם כן 180°. מאחר והלוקוס צריך לקיים את תכונת הסימטריה ביחס לציר הממשי, נקבל איפוא שהענפים יוצאים ב-±90° ביחס לציר הממשי.

זווית עזיבה

זווית העזיבה של לוקוס מהקוטב $\ s=-p_{1}$ נתונה על ידי: $\arg(s+p_{1})=\sum _{i=1}^{m}\arg(s+z_{i})-\sum _{i=2}^{n}\arg(s+p_{i})-(2k+1)\pi$.

זווית הגעה

זווית ההגעה של לוקוס לאפס $\ s=-z_{1}$ נתונה על ידי: $\arg(s+z_{1})=(2k+1)\pi +\sum _{i=1}^{n}\arg(s+p_{i})-\sum _{i=2}^{m}\arg(s+z_{i})$.

כדאי לדעת: מעשית, נבצע את החישוב באופן הבא: נגדיר $\ \sum \phi _{others}=\sum _{zeros}\psi _{i}-\sum _{poles}\theta _{i}$ כאשר $\ \psi _{i},\theta _{i}$ הן הזוויות בין האפס/הקוטב הנבחר לבין שאר האפסים/קטבים של המערכת: $\ \psi _{i}=\arg(p-z_{i}),\ \theta _{i}=\arg(p-p_{i})$ לבסוף: $\ {\begin{cases}(K>0):&\phi _{departure}=180^{o}+\sum \phi _{others}\\(K<0):&\phi _{arrival}=\sum \phi _{others}\end{cases}}$

חיתוך עם הציר המדומה

את נקודות החיתוך עם הציר המדומה ניתן למצוא באמצעות קריטריון ראוט. תחילה נמצא את ה-K-ים הגבוליים עבורם המערכת הופכת ללא יציבה (מערכת אינה יציבה כאשר יש קוטב אחד או יותר ב-ORHP). הצבת ה-K-ים הללו למשוואה האופיינית תתן את נקודות החיתוך (כזכור, המשוואה האופיינית מגדירה את המקום הגיאומטרי של כל נקודות ה-Root-Locus).

סיכום

במערכת פיזיקלית: n ≥ m

כללים

1. המשוואה האופיינית: כל נקודה s_RL על לוקוס מקיימת: $\ {\bar {G}}(s_{RL})=-1$ ולכן מתקיימים:
   1. קריטריון ההגבר: $\ |{\bar {G}}(s_{RL})|=1$
   2. קריטריון הפאזה: $\ \arg {\bar {G}}(s_{RL})=\pi$

   כל הכללים לשרטוט Root-Locus נובעים משני תנאים אלו.

2. מספר הלוקוסים של מערכת שווה למספר הקטבים של פונקצית התמסורת בחוג פתוח: n (כלומר מספר הקטבים של ${\bar {G}}$).
3. ענפים פתוחים: מספר הלוקוסים ה"בורחים" לאינסוף (הגבר אינסופי) שווה להפרש n-m בין מספר הקטבים למספר האפסים של G.
4. התחלה: שרטוט הלוקוסים מתחיל בקטבי התמסורת של החוג הפתוח.
5. סיום: השרטוט מסתיים באפסי התמסורת של החוג הפתוח. מאחר ומספר הקטבים גדול ב n-m ממספר האפסים, ישנם n-m עקומים ה"בורחים" לאינסוף. שני קטבים לא יכולים "להסתיים" באותו אפס.
6. סימטריה: כזכור, קטבי פונקצית התמסורת הם חיוביים או זוגות של מרוכבים-צמודים. לכן לוקוסי השורשים הם סימטריים יחסית לציר הממשי.
7. נקודות מימין: עבור K>0, לכל נקודה על הציר הממשי הנמצאת על לוקוס של שורש, קיימים מספר אי-זוגי של אפסים וקטבים מימין לנקודה (במקרה של K<0: מספר זוגי).

שלבים

1. קביעה: מספר הענפים שווה ל-n, ומספר הענפים ההולכים לאינסוף הוא n-m. לכן יש n-m אסימפטוטות.
2. סימון הקטעים על הציר הממשי בהם קיים ה-RL.
3. חישוב זוויות האסימפטוטות ונקודת המוצא של האסימפטוטות.
4. חישוב זוויות יציאה מקטבים וזוויות הגעה לאפסים.
5. מציאת נקודת התפצלות ה-RL.
6. חישוב נקודות החיתוך עם הציר המדומה.

כדאי לדעת: הקטבים העיקריים המשפיעים על תגובת מערכת חוג סגור הם אלה הקרובים ביותר לציר המדומה.

לוקוס השורשים עבור K<0

ה-ZARL הוא ה"משלים" של ה-RL.

במקרה של ZARL - Zero Angle Root Locus, המשוואה האופיינית היא:

$\ 1-|K|GH=0$

כללים

1. (לסעיף) קירטריון ההגבר: (ללא שינוי:) $\ |KGH|=1$
2. (לסעיף) קריטריון הפאזה: $\ \arg {\bar {G}}(s_{RL})=2k\pi ,\ k=0,\pm 1,\pm 2...$
3. מתחילים בקטבים עם K=0 ומסיימים עם $\ K=-\infty$ באפסים או באסימפטוטות.
4. ה-ZARL קיים על הציר הממשי בכל מקום בו מצד ימין סכום הקטבים והאפסים הוא זוגי.
5. (לסעיף) זוויות האסימפטוטות: $\ \phi _{k}={2\pi \over n-m},\ k=0,1,2...(n-m-1)$

מטלאב

בהתאם לסימון לעיל, מבצעים אנליזת Root-Locus על הפונקציה ${\bar {G}}(s)$, כלומר פונקצית התמסורת בחוג פתוח של מערכת משוב יחידה.

נניח כי $\ {\bar {G}}(s)={s+1 \over s(s+2)(s+3)(s+4)}$.

num=[1 1];
den=conv(conv([1 0],[1 2]),conv([1 3],[1 4]));
rlocus(num,den)

או לחילופין:

G=tf(num,den);
rlocus(G)

במטלאב קיים כלי לניתוח מערכות. ניתן להפעילו על ידי הרצת:

rltool

(להשלים: rltool)

דוגמאות

כדאי לדעת: נהוג לסמן על השרטוט קטבים ב-X ואפסים ב-O.

דוגמה 1

נניח כי $\ {\bar {G}}(s)={K \over (s+1)(s+2)}$ אז המשוואה האופיינית מתקבלת מן הביטוי $\ 1+{K \over (s+1)(s+2)}=0\quad \Rightarrow \quad (s+1)(s+2)+K=0$.

• במקרה פשוט זה, ניתן למצוא ביטוי כללי לשורשים, כתלות ב-K (בדרך כלל לא ניתקל במקרים פשוטים כאלה):

$\ s^{2}+3s+(2+K)=0\quad \Rightarrow \quad s_{1,2}=-1.5\pm {\sqrt {0.25-K}}$

• כפי שניתן לראות, עבור K=0 שורשי המשוואה מתלכדים עם קטבי ${\bar {G}}(s)$, כלומר s=-1,-2.
• נמשיך לקבל שורשים ממשיים ככל ש-K גדל, עד אשר K=0.25 (קוטב כפול). מכאן והלאה, כל הגדלה של K תניב זוג שורשים מרוכבים צמודים שימצאו לעולם על אותו הישר (ישר זה הוא ערך החלק הממשי של השורשים).
• ככל שההגבר החופשי K הולך וגדל, כך ריסון המערכת הולך וקטן.

(להשלים)

דוגמה 2

נניח כי $\ {\bar {G}}(s)={K \over s(s+1)(s+2)}$ אז המשוואה האופיינית מתקבלת מן הביטוי $\ 1+{K \over s(s+1)(s+2)}=0\quad \Rightarrow \quad s(s+1)(s+2)+K=0$.

• עבור K=0, שורשי המשוואה מתלכדים עם קטבי ${\bar {G}}(s)$.
• השורש שישב ב-s=-2 נע שמאלה ולכן לא משפיע על היציבות.
• שני השורשים האחרים נעים אחד לקראת השני, ובנקודת המפגש ממשיכים לשורשים מרוכבים-צמודים עד שלבסוף חוצים את הציר המדומה והמערכת הופכת ללא-יציבה.

(להשלים)

דוגמה 3

דוגמה 3

נניח כי $\ {\bar {G}}(s)={K(s+1) \over s(s+2)(s+3)}$.

• כאן רואים כי מתחילים בקוטב ומסיימים באפס (הקו הכחול). שאר הענפים הם באינסוף (כי יש רק אפס יחיד ושלושה קטבים).

דוגמה 4

דוגמה 4

נניח כי $\ {\bar {G}}(s)={K(s-4) \over s(s^{2}+3s+7)}$.

• יש n-m=3-1=2 ענפים ש"בורחים" לאינסוף, ולכן יש שתי אסימפטוטות.
• שורשי המכנה הם $\ 0,-1.5\pm j2.1794$.
• אסימפטוטות:

  $\ s_{CG}={\sum _{1}^{n}p-\sum _{1}^{m}z \over n-m}={-3-4 \over 2}=-3.5$

  $\ \phi _{0,1}={\begin{cases}{(2k+1)\pi \over 2}={\pi \over 2},{3\pi \over 2}&K>0\\{2k\pi \over 2}=0,\pi &K<0\end{cases}}$

• נקודת עזיבה:

  $\ {d \over ds}\left[{1 \over {\bar {G}}}\right]=-{s(s^{2}+3s+7) \over (s-4)^{2}}+{s^{2}+3s+7 \over s-4}+{s(2s+3) \over s-4}=0$

  $\ \Rightarrow \ s=6.629$

  שאר השורשים יוצאים מרורכבים ולכן לא יכולים להוות נקודת עזיבה.

• חיתוך עם ציר מדומה: הפעלת קריטריון ראוט על הפולינום $\ P_{R}(s)=s^{3}+3s^{2}+(K+7)s-4K$ נותנת: $\ -3<K<0$. עבור $\ P_{R}(0)$ לא מתקבלים שורשים מדומים טהורים, ועבור $\ P_{R}(-3)$ מתקבלים השורשים $\ -3,\pm 2j$ ולכן החיתוך מתבצע בנקודות $\ \pm 2j$ שעל הציר המדומה. שימו לב כי רק ה-ZARL חותך את הציר המדומה, ואילו ה-RL אינו חותך אותו, כי הפתרון התקבל עבור K=-3.
• זויות יציאה והגעה: נחשב את זוית היציאה/הגעה מהקוטב המרוכב העליון ונסיק לגבי הקוטב התחתון בהתאם לתכונת הסימטריה.

  $\ \sum \psi _{i}=\arg(-1.5+j2.1794-4)=158.38^{o}$

  $\ \sum \theta _{i}=(-1.5+j2.1794-(-1.5-j2.1794))+$

  $\ +\arg(-1.5+j2.1794-0)=214.54$

  $\ \sum \phi _{others}=158.38-214.54=-56.16$

  $\ \Rightarrow \ \phi _{departure}={\begin{cases}180^{o}-56.16^{o}=123.84^{o}&(RL)\\-56.16&(ZARL)\end{cases}}$

כדאי לדעת: לחישוב זוית ניתן להשתמש בקוד מטלאב הבא: p=-1.5+2.1794*i; angle(p-4)*180/pi;

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: לוקוס השורשים (אנגלית)

ערך מילוני בוויקימילון: לוקוס

• מדריך מטלאב עבור root-locus - מאתר MichiganEngineering
• הסברים ואיורים מאתר RoyMech
• הסברים מעמיקים מאתר ATP
• הסברים ואנימציות מאתר אוניברסיטת Bucknell