תורת הבקרה/שיטת לוקוס השורשים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בשיטת לוקוס השורשים (RL - Root-Locus) מתארים באופן גרפי את תזוזת שורשי הפולינום האופייני (קטבי התמסורת) כתלות בהגבר הקבוע. בהינתן פונקצית תמסורת של החוג הפתוח, בעזרת שיטת לוקוס השורשים ניתן למצוא את מיקום קטבי החוג הסגור עבור הגבר כלשהו[1]. שיטה זו שימושית במערכות מסוג SISO. התיאור הגרפי מראה את התנהגות היציבות של המערכת וחוסך חישוב נקודתי של ערכי השורשים עבור כל שינוי של ההגבר. השיטה נקראת כך משום שעבור כל ערך של ההגבר משרטטים את מיקום השורשים, כך שמתקבל לוקוס התזוזות של השורשים על גבי מישור s.

מתוך אנליזת RL ניתן לבחור את גודל הפרמטר (הגבר, קוטב, אפס) כך שיעניק למערכת את ההתנהגות הרצויה לנו.

אבחנות[עריכה]

מערכת עם משוב כללי H.

על פי הגדרה, משרטטים לוקוסים עבור הפוקנציה GH. כך למשל, אם נרצה לקבל במטלאב את גרף ה-Root Locus של המערכת שבאיור, נזין את הפונקציה GH.

נניח כי:

כדאי לדעת:

ולכן פונקצית התמסורת הכללית מקבלת את הצורה:

לכן המשוואה האופיינית תתקבל מהשוואת המכנה של הביטוי האחרון לאפס:

כעת ניתן לשרטט את הלוקוס של הקטבים כתלות ב-K. האבחנות הראשונות שנבצע יהיו עבור מקרי קיצון:

  • עבור קטבי התמסורת יתקרבו לשורשים של A (קטבי התמסורת).
  • עבור קטבי התמסורת יתקרבו לשורשים של B (אפסי התמסורת).

אם כן, בשיטת לוקוס השורשים של מערכת בחוג סגור, נתחיל במציאת קטבי התמסורת של החוג הפתוח (A) ונסיים במציאת אפסי התמסורת של החוג הפתוח (B), כאשר K נע בין אפס לאינסוף, בהתאמה.

סיכום[עריכה]

אם המערכת הנידונה היא מהצורה של משוב כללי H (איור 1), אז:

  • אנליזת Root-Locus על הפונקציה GH מתבצעת באמצעות המשוואה .
  • המשוואה האופיינית מתקבלת מהשוואת הביטוי לאפס, או לחילופין השוואת הביטוי לאפס.
  • עבור K=0, קטבי התמסורת מתלכדים עם קטבי GH.
  • מספר הענפים שווה ל-n, כלומר לסדר הפולינום במכנה התמסורת של החוג הסגור. כל ענף הוא המקום גאומטרי במישור s עליו נע קוטב של חוג הסגור, כתלות בהגבר K.


שימו לב:

עבור K<0 נקבל תנאים "הפוכים". לפרטים, הביטו בסעיף העוסק בכך.

קריטריון ההגבר וקריטריון הפאזה[עריכה]

שימו לב:

נסמן

כזכור, המשוואה האופיינית מתקבלת מהשוואת המכנה של פונקצית התמסורת הכללית לאפס: . לכן כל נקודה sRL במישור s הנמצאת על לוקוסי השורשים מקיימת[2]:

מתנאי זה ניתן לקבל את קריטריון ההגבר וקריטריון הפאזה.

קריטריון ההגבר[עריכה]

מהביטוי האחרון מתקבל כי כל נקודה sRL על לוקוס השורשים מקיימת:

כאשר zi, pi הם אפסי הפולינומים A, B בהתאמה.

מכאן ניתן לחשב את K במקרה ששאר הפרמטרים ידועים, או לחשב את מיקום השורשים על הלוקוס, עבור K מסוים.


כדאי לדעת:

אם הפולינומים A,B מוגדרים כמכפלת הגורמים (s-pi),(s-zi) אז גם בקריטריון ההגבר (וגם בקריטריון הפאזה) הגורמים יופיעו עם סימן "-", ולא עם סימן "+" כפי שמופיע כאן.

קריטריון הפאזה[עריכה]

כמו כן, כל נקודה sRL על לוקוס השורשים מקיימת:

כאשר zi, pi הם אפסי הפולינומים A, B בהתאמה.

כלומר עבור K>0, ההפרש בין סכום הזוויות מהאפסים לנקודה לבין סכום הזויות מהקטבים לנקודה צריך להיות שווה לכפולה אי זוגית של 180°.


כדאי לדעת:

שימו לב כי .

אסימפטוטות[עריכה]

עבור m=n כל הענפים נסגרים, כלומר כל הקטבים עוברים לאפסים. כאשר m<n, יש n-m ענפים הבורחים לאינסוף, ולכן גם n-m אסימפטוטות. לסיכום:

מספר האסימפטוטות שווה ל: n-m.

זוויות האסימפטוטות[עריכה]

מחוק הפאזה מתקבל כי הזויות φ של האסימפטוטות נתונות על ידי:

כלומר יש n-m אסימפטוטות (שהן קווים ישרים) בזוויות φk, והאסימפטוטות סימטריות ביחס לציר הממשי.

מוצא האסימפטוטות[עריכה]

האסימפטוטות יוצאות מאותה נקודה (על הציר הממשי) המהווה את "מרכז הכובד" של הקטבים והאפסים: , כאשר p,z הם ערכי האפסים והקטבים בהתאמה, ו-a,b הם מקדמים במנת הפולינומים A,B המרכיבים את (ראו בסעיף האבחנות).


כדאי לדעת:

לעתים בספרות רשום , אך מכיוון שהקטבים המרוכבים באים בזוגות צמודים, כל החלקים המדומים מצטמצמים.

התפצלות לוקוסים[עריכה]

נקודות התפצלות הן נקודות בהן קיים קוטב מריבוי 2 ומעלה.

התפצלות מן הציר הממשי[עריכה]

מהמשוואה האופיינית ניתן לקבל את התנאי . כלומר כל נקודת התפצלות ("עזיבה") היא מקסימום (או מינימום) של K עבורו השורש עדיין ממשי. שימו לב כי לא כל הנקודות המאפסות את הנגזרת הן נקודות עזיבה מאחר ועליהן לקיים גם את המשוואה האופיינית. כלומר מבין כל הנקודות המתקבלות מהשוואת הנגזרת לאפס, נקודות העזיבה הן רק אלו אשר מקיימות גם את המשוואה האופיינית.


כדאי לדעת:

ניתן להשתמש במשוואה האנלוגית: .

זוויות יציאה והגעה[עריכה]

יש לחשב את זווית היציאה מכל קוטב ואת זווית ההגעה לכל אפס.

זווית עזיבה והגעה בציר הממשי[עריכה]

במקרה פשוט זה, בו הלוקוס עוזב את הציר הממשי (או מגיע אליו), הזווית בין הענפים נתונה על ידי:

כאשר r הוא ריבוי השורשים באותה נקודה. אם r=2, כאשר הקטבים מתקרבים לנקודת העזיבה על הציר הממשי, הזווית ביניהם היא אכן 180°, וכאשר הם מתפצלים, הזווית צריכה להיות גם כן 180°. מאחר והלוקוס צריך לקיים את תכונת הסימטריה ביחס לציר הממשי, נקבל איפוא שהענפים יוצאים ב-±90° ביחס לציר הממשי.

זווית עזיבה[עריכה]

זווית העזיבה של לוקוס מהקוטב נתונה על ידי: .

זווית הגעה[עריכה]

זווית ההגעה של לוקוס לאפס נתונה על ידי[3]: .


כדאי לדעת:

מעשית, נבצע את החישוב באופן הבא: נגדיר

כאשר הן הזוויות בין האפס/הקוטב הנבחר לבין שאר האפסים/קטבים של המערכת:

לבסוף:

חיתוך עם הציר המדומה[עריכה]

את נקודות החיתוך עם הציר המדומה ניתן למצוא באמצעות קריטריון ראוט. תחילה נמצא את ה-K-ים הגבוליים עבורם המערכת הופכת ללא יציבה (מערכת אינה יציבה כאשר יש קוטב אחד או יותר ב-ORHP). הצבת ה-K-ים הללו למשוואה האופיינית תתן את נקודות החיתוך (כזכור, המשוואה האופיינית מגדירה את המקום הגיאומטרי של כל נקודות ה-Root-Locus).

סיכום[עריכה]

Blue think.svg במערכת פיזיקלית: n ≥ m

כללים[עריכה]

  1. המשוואה האופיינית: כל נקודה sRL על לוקוס מקיימת: ולכן מתקיימים:
    1. קריטריון ההגבר:
    2. קריטריון הפאזה:
    כל הכללים לשרטוט Root-Locus נובעים משני תנאים אלו.
  2. מספר הלוקוסים של מערכת שווה למספר הקטבים של פונקצית התמסורת בחוג פתוח: n (כלומר מספר הקטבים של ).
  3. ענפים פתוחים: מספר הלוקוסים ה"בורחים" לאינסוף (הגבר אינסופי) שווה להפרש n-m בין מספר הקטבים למספר האפסים של G.
  4. התחלה: שרטוט הלוקוסים מתחיל בקטבי התמסורת של החוג הפתוח.
  5. סיום: השרטוט מסתיים באפסי התמסורת של החוג הפתוח. מאחר ומספר הקטבים גדול ב n-m ממספר האפסים, ישנם n-m עקומים ה"בורחים" לאינסוף. שני קטבים לא יכולים "להסתיים" באותו אפס.
  6. סימטריה: כזכור, קטבי פונקצית התמסורת הם חיוביים או זוגות של מרוכבים-צמודים. לכן לוקוסי השורשים הם סימטריים יחסית לציר הממשי.
  7. נקודות מימין: עבור K>0, לכל נקודה על הציר הממשי הנמצאת על לוקוס של שורש, קיימים מספר אי-זוגי של אפסים וקטבים מימין לנקודה (במקרה של K<0: מספר זוגי).

שלבים[עריכה]

  1. קביעה: מספר הענפים שווה ל-n, ומספר הענפים ההולכים לאינסוף הוא n-m. לכן יש n-m אסימפטוטות.
  2. סימון הקטעים על הציר הממשי בהם קיים ה-RL.
  3. חישוב זוויות האסימפטוטות ונקודת המוצא של האסימפטוטות.
  4. חישוב זוויות יציאה מקטבים וזוויות הגעה לאפסים.
  5. מציאת נקודת התפצלות ה-RL.
  6. חישוב נקודות החיתוך עם הציר המדומה.


כדאי לדעת:

הקטבים העיקריים המשפיעים על תגובת מערכת חוג סגור הם אלה הקרובים ביותר לציר המדומה.

לוקוס השורשים עבור K<0[עריכה]

ה-ZARL הוא ה"משלים" של ה-RL.

במקרה של ZARL - Zero Angle Root Locus, המשוואה האופיינית היא:

כללים[עריכה]

  1. (לסעיף) קירטריון ההגבר: (ללא שינוי:)
  2. (לסעיף) קריטריון הפאזה:
  3. מתחילים בקטבים עם K=0 ומסיימים עם באפסים או באסימפטוטות.
  4. ה-ZARL קיים על הציר הממשי בכל מקום בו מצד ימין סכום הקטבים והאפסים הוא זוגי.
  5. (לסעיף) זוויות האסימפטוטות:

מטלאב[עריכה]

General closed loop unity feedback system.svg

בהתאם לסימון לעיל, מבצעים אנליזת Root-Locus על הפונקציה , כלומר פונקצית התמסורת בחוג פתוח של מערכת משוב יחידה.

נניח כי .

num=[1 1];
den=conv(conv([1 0],[1 2]),conv([1 3],[1 4]));
rlocus(num,den)


או לחילופין:

G=tf(num,den);
rlocus(G)


במטלאב קיים כלי לניתוח מערכות. ניתן להפעילו על ידי הרצת:

rltool


(להשלים: rltool)

דוגמאות[עריכה]

כדאי לדעת:

נהוג לסמן על השרטוט קטבים ב-X ואפסים ב-O.

דוגמה 1[עריכה]

נניח כי אז המשוואה האופיינית מתקבלת מן הביטוי .

  • במקרה פשוט זה, ניתן למצוא ביטוי כללי לשורשים, כתלות ב-K (בדרך כלל לא ניתקל במקרים פשוטים כאלה):
RL-(0 1)-(1 1)(1 2).png
  • כפי שניתן לראות, עבור K=0 שורשי המשוואה מתלכדים עם קטבי , כלומר s=-1,-2.
  • נמשיך לקבל שורשים ממשיים ככל ש-K גדל, עד אשר K=0.25 (קוטב כפול). מכאן והלאה, כל הגדלה של K תניב זוג שורשים מרוכבים צמודים שימצאו לעולם על אותו הישר (ישר זה הוא ערך החלק הממשי של השורשים).
  • ככל שההגבר החופשי K הולך וגדל, כך ריסון המערכת הולך וקטן.

(להשלים)

דוגמה 2[עריכה]

נניח כי אז המשוואה האופיינית מתקבלת מן הביטוי .

RL-(0 1)-(1 0)(0 1)(1 1)(1 2).png
  • עבור K=0, שורשי המשוואה מתלכדים עם קטבי .
  • השורש שישב ב-s=-2 נע שמאלה ולכן לא משפיע על היציבות.
  • שני השורשים האחרים נעים אחד לקראת השני, ובנקודת המפגש ממשיכים לשורשים מרוכבים-צמודים עד שלבסוף חוצים את הציר המדומה והמערכת הופכת ללא-יציבה.

(להשלים)

דוגמה 3[עריכה]

דוגמה 3

נניח כי .

  • כאן רואים כי מתחילים בקוטב ומסיימים באפס (הקו הכחול). שאר הענפים הם באינסוף (כי יש רק אפס יחיד ושלושה קטבים).

דוגמה 4[עריכה]

דוגמה 4

נניח כי .

  • יש n-m=3-1=2 ענפים ש"בורחים" לאינסוף, ולכן יש שתי אסימפטוטות.
  • שורשי המכנה הם .
  • אסימפטוטות:
  • נקודת עזיבה:
    שאר השורשים יוצאים מרורכבים ולכן לא יכולים להוות נקודת עזיבה.
  • חיתוך עם ציר מדומה: הפעלת קריטריון ראוט על הפולינום נותנת: . עבור לא מתקבלים שורשים מדומים טהורים, ועבור מתקבלים השורשים ולכן החיתוך מתבצע בנקודות שעל הציר המדומה. שימו לב כי רק ה-ZARL חותך את הציר המדומה, ואילו ה-RL אינו חותך אותו, כי הפתרון התקבל עבור K=-3.
  • זויות יציאה והגעה: נחשב את זוית היציאה/הגעה מהקוטב המרוכב העליון ונסיק לגבי הקוטב התחתון בהתאם לתכונת הסימטריה.


כדאי לדעת:

לחישוב זוית ניתן להשתמש בקוד מטלאב הבא:
p=-1.5+2.1794*i;
angle(p-4)*180/pi;

קישורים חיצוניים[עריכה]

ויקימילון ערך מילוני בוויקימילון: לוקוס
  • מדריך מטלאב עבור root-locus - מאתר MichiganEngineering
  • הסברים ואיורים מאתר RoyMech
  • הסברים מעמיקים מאתר ATP
  • הסברים ואנימציות מאתר אוניברסיטת Bucknell

הערות[עריכה]

  1. ^ לא ניתן להזיז את אפסי המערכת באמצעות שינוי ההגבר החופשי.
  2. ^ פתרון המשוואה האופיינית נותן את שורשי המשוואה, ועבור K משתנה נקבל את הלוקוס. לכן פתרון המשוואה האפיינית יושב על הלוקוס.
  3. ^ נוח להניח ש-k=0 ולבסוף להחסיר כפולות של 2π במידת הצורך.