משוואת המצב -

היא מד"ר מסדר ראשון, אלא שהמשתנים הם וקטורים והמקדמים הם מטריצה.
מכאן והלאה, אם לא צוין אחרת, x הוא וקטור מסדר n.
נפתור באמצעות הפרדת משתנים:

במקום קבוע מעריכי C נציב קבוע כפלי, שהוא למעשה תנאי ההתחלה:

המטריצה
נקראת מטריצת מצב-מעבר (state-transition matrix), ונדון עליה בהמשך. כמו כן, הביטוי
הוא הפיתרון ההומוגני של המשוואה שנפגוש בהמשך:
|
כדאי לדעת: במטלאב: את אקספוננט המטריצה A יש לחשב באמצעות הפונקציה expm , ולא באמצעות exp הרגיל, אשר מחשב איבר-איבר.
|
במקרה זה לא ניתן לבצע הפרדת משתנים. הטריק הוא להכפיל ב-
ואז נקבל נגזרת של מכפלה:
![{\displaystyle \ e^{-At}{\dot {x}}(t)-e^{-At}Ax(t)={d \over dt}\left[e^{-At}x(t)\right]=e^{-At}Bu(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace571a3bc7d74494cd98c6266bc2241066daa11)
נבצע אינטגרציה על הביטוי האחרון מהזמן ההתחלתי t0 ועד לזמן הנוכחי t, ונקבל:
|
הוא משתנה דמה!
|

באופן דומה, עבור משוואת הפלט נקבל:

זהו הפתרון הכללי של משוואת מצב LTI עם כניסה שונה מאפס.
מטריצת המעבר קיבלה את שמה בעקבות הקישור שהיא ממלאת:

כלומר, מקשרת בין וקטורי המצב בין שני זמנים כלשהם.
מטריצת המעבר מוגדרת:

תכונות מטריצת המעבר
[עריכה]




- הערכים העצמיים של A הם קטבי המערכת.
- טרנספורמציה לינארית של משתני המצב לא תשנה את הקטבים.
חישוב מטריצת המעבר
[עריכה]
באמצעות טור טיילור
[עריכה]

מטלאב:
באמצעות התמרת לפלס
[עריכה]
![{\displaystyle \ {\dot {\vec {x}}}=A{\vec {x}}\quad \Rightarrow \quad s{\vec {X}}(s)-{\vec {X}}_{0}=A{\vec {X}}(s)\quad \Rightarrow \quad {\vec {X}}(s)=[sI-A]^{-1}{\vec {X}}_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2a3d4e42aacda7f85690a8153743672d0da79c)
נבצע התמרה הפוכה, חזרה למישור הזמן:
![{\displaystyle \ {\vec {x}}(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{\left[sI-A\right]^{-1}{\vec {X}}_{0}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cb59d2fb60d4f87186e2e12866733c2f654305)
כך שבזמן אפס:
![{\displaystyle \ \phi (t)=\phi (t,0)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{\left[sI-A\right]^{-1}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08138c67920847b5c86683ffa95da74af914add7)
כלומר מטריצת המעבר היא:
![{\displaystyle \ \phi (t)=e^{At}={\mathcal {L}}^{-1}\left\{\left[sI-A\right]^{-1}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165cfe222d7a8142b6f562884ec61e52458086ff)
(להשלים)
טרנספורמציה לינארית של משתני המצב
[עריכה]
כזכור, מערכת משתני המצב מוגדרת כך:

נגדיר וקטור מצב חדש באמצעות מטרית המעבר Q:

כאשר Q מן הסתם הפיכה, כלומר:
, ואז:

אם נציב ביטויים אלו למערכת משתני המצב, נקבל:

נגדיר את הביטויים:

ואז:

טרנספורמציה קנונית: לכסון משוואת המצב
[עריכה]
נסמן
הערכים העצמיים והוקטורים העצמיים המתאימים להם, של המטריצה A, ונניח בפיתוח זה כי הם שונים זה מזה, כלומר:

נגדיר:

כך ש:

ו-V היא מטריצת הוקטורים העצמיים, כך ש:
![{\displaystyle \ V=[{\vec {v}}_{1}\ {\vec {v}}_{2}\ \cdots \ {\vec {v}}_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a169411e0d12d14e731f848bfcc6c8dbfa7dac)
ו-Λ היא מטריצה אלכסונית של הערכים העצמיים:

נבצע את המכפלה AV לשם הבהרה:
![{\displaystyle \ AV=[A{\vec {v}}_{1}\ A{\vec {v}}_{2}\ \cdots \ A{\vec {v}}_{n}]=[\lambda _{1}{\vec {v}}_{1}\ \lambda _{2}{\vec {v}}_{2}\ \cdots \ \lambda _{n}{\vec {v}}_{n}]=\underbrace {[{\vec {v}}_{1}\ {\vec {v}}_{2}\ \cdots \ {\vec {v}}_{n}]} _{V}\underbrace {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}} _{\Lambda }=V\Lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62db3eb66f50825df82564de97a5d537b436aa5)
ולכן:

כך שמתקבל:

|
|

לשם המשך הפיתוח, נשתמש בקשר הבא:

כך שמתקיים:


לסיכום:

ערכים עצמיים מריבוי r
[עריכה]
(להשלים)