תורת הבקרה/פתרון משוואת המצב עבור מערכת קבועה בזמן

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משוואת המצב -

היא מד"ר מסדר ראשון, אלא שהמשתנים הם וקטורים והמקדמים הם מטריצה.

מכאן והלאה, אם לא צוין אחרת, x הוא וקטור מסדר n.

כניסה אפס[עריכה]

נפתור באמצעות הפרדת משתנים:

במקום קבוע מעריכי C נציב קבוע כפלי, שהוא למעשה תנאי ההתחלה:

המטריצה נקראת מטריצת מצב-מעבר (state-transition matrix), ונדון עליה בהמשך. כמו כן, הביטוי הוא הפיתרון ההומוגני של המשוואה שנפגוש בהמשך:


כדאי לדעת:

במטלאב: את אקספוננט המטריצה A יש לחשב באמצעות הפונקציה expm, ולא באמצעות exp הרגיל, אשר מחשב איבר-איבר.

כניסה שונה מאפס[עריכה]

במקרה זה לא ניתן לבצע הפרדת משתנים. הטריק הוא להכפיל ב- ואז נקבל נגזרת של מכפלה:

נבצע אינטגרציה על הביטוי האחרון מהזמן ההתחלתי t0 ועד לזמן הנוכחי t, ונקבל:

Blue think.svg הוא משתנה דמה!

באופן דומה, עבור משוואת הפלט נקבל:

זהו הפתרון הכללי של משוואת מצב LTI עם כניסה שונה מאפס.

מטריצת המעבר[עריכה]

מטריצת המעבר קיבלה את שמה בעקבות הקישור שהיא ממלאת:

כלומר, מקשרת בין וקטורי המצב בין שני זמנים כלשהם.

מטריצת המעבר מוגדרת:

תכונות מטריצת המעבר[עריכה]

  1. הערכים העצמיים של A הם קטבי המערכת.
  2. טרנספורמציה לינארית של משתני המצב לא תשנה את הקטבים.

חישוב מטריצת המעבר[עריכה]

באמצעות טור טיילור[עריכה]

מטלאב:

expm(A);


באמצעות התמרת לפלס[עריכה]

נבצע התמרה הפוכה, חזרה למישור הזמן:

כך שבזמן אפס:

כלומר מטריצת המעבר היא:

דוגמאות[עריכה]

(להשלים)

טרנספורמציה לינארית של משתני המצב[עריכה]

כזכור, מערכת משתני המצב מוגדרת כך:

נגדיר וקטור מצב חדש באמצעות מטרית המעבר Q:

כאשר Q מן הסתם הפיכה, כלומר: , ואז:

אם נציב ביטויים אלו למערכת משתני המצב, נקבל:

נגדיר את הביטויים:

ואז:

טרנספורמציה קנונית: לכסון משוואת המצב[עריכה]

נסמן הערכים העצמיים והוקטורים העצמיים המתאימים להם, של המטריצה A, ונניח בפיתוח זה כי הם שונים זה מזה, כלומר:

נגדיר:

כך ש:

ו-V היא מטריצת הוקטורים העצמיים, כך ש:

ו-Λ היא מטריצה אלכסונית של הערכים העצמיים:

נבצע את המכפלה AV לשם הבהרה:

ולכן:

כך שמתקבל:

מטריצת מעבר[עריכה]

Blue think.svg

לשם המשך הפיתוח, נשתמש בקשר הבא:

כך שמתקיים:

לסיכום:

ערכים עצמיים מריבוי r[עריכה]

(להשלים)