משוואת המצב -
![{\displaystyle \ {\dot {\vec {x}}}=A{\vec {x}}+B{\vec {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e90a4a56192b5c1e62193637c12913fdbd262d)
היא מד"ר מסדר ראשון, אלא שהמשתנים הם וקטורים והמקדמים הם מטריצה.
מכאן והלאה, אם לא צוין אחרת, x הוא וקטור מסדר n.
נפתור באמצעות הפרדת משתנים:
![{\displaystyle \ {\dot {\vec {x}}}=A{\vec {x}}\quad \Rightarrow \quad {dx(t) \over x(t)}=Adt\quad \Rightarrow \quad x(t)=e^{At+C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfad4c921ba76305708180fb5b2305ab183d336)
במקום קבוע מעריכי C נציב קבוע כפלי, שהוא למעשה תנאי ההתחלה:
![{\displaystyle \ x(t)=x(t_{0})e^{At}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df881db74e19a244e68e2f36864b2c1c91005dc8)
המטריצה
נקראת מטריצת מצב-מעבר (state-transition matrix), ונדון עליה בהמשך. כמו כן, הביטוי
הוא הפיתרון ההומוגני של המשוואה שנפגוש בהמשך:
|
כדאי לדעת: במטלאב: את אקספוננט המטריצה A יש לחשב באמצעות הפונקציה expm , ולא באמצעות exp הרגיל, אשר מחשב איבר-איבר.
|
במקרה זה לא ניתן לבצע הפרדת משתנים. הטריק הוא להכפיל ב-
ואז נקבל נגזרת של מכפלה:
![{\displaystyle \ e^{-At}{\dot {x}}(t)-e^{-At}Ax(t)={d \over dt}\left[e^{-At}x(t)\right]=e^{-At}Bu(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace571a3bc7d74494cd98c6266bc2241066daa11)
נבצע אינטגרציה על הביטוי האחרון מהזמן ההתחלתי t0 ועד לזמן הנוכחי t, ונקבל:
|
הוא משתנה דמה!
|
![{\displaystyle x(t)=e^{A(t-t_{0})}x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72bb7ee0ea961389a9e1c78fd74b96b58f75410b)
באופן דומה, עבור משוואת הפלט נקבל:
![{\displaystyle y(t)=Ce^{A(t-t_{0})}x(t_{0})+C\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau +Du(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22359210b205a86857378523a79608f548feeaea)
זהו הפתרון הכללי של משוואת מצב LTI עם כניסה שונה מאפס.
מטריצת המעבר קיבלה את שמה בעקבות הקישור שהיא ממלאת:
![{\displaystyle \ {\vec {x}}(t_{1})=e^{A(t_{1}-t_{0})}\cdot {\vec {x}}(t_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9534bef6faf419bf9c331b37f14cce0dbc837ceb)
כלומר, מקשרת בין וקטורי המצב בין שני זמנים כלשהם.
מטריצת המעבר מוגדרת:
![{\displaystyle \ \phi (t_{1},t_{0})=e^{A(t_{1}-t_{0})}=\phi (t_{1}-t_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f960b79f270b0cb932c11cc1c5c9e405d6173f10)
תכונות מטריצת המעבר
[עריכה]
![{\displaystyle \ {\dot {\phi }}(t,t_{0})=A\phi (t,t_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1837b1c9de5fe6afb449d2b842c588ce262b1425)
![{\displaystyle \ \phi (t_{0},t_{0})=I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777b55cdc17e3d31b56772348180dfce56893f26)
![{\displaystyle \ \phi (t_{2},t_{0})=\phi (t_{2},t_{1})\cdot \phi (t_{1},t_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e654daa9fe85bc05e09f02abf347a454420527ab)
![{\displaystyle \ \phi (t_{0},t_{1})=\phi ^{-1}(t_{1},t_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0615661cdf620e823712b435a83c51cde55d35b)
- הערכים העצמיים של A הם קטבי המערכת.
- טרנספורמציה לינארית של משתני המצב לא תשנה את הקטבים.
חישוב מטריצת המעבר
[עריכה]
באמצעות טור טיילור
[עריכה]
![{\displaystyle \ e^{At}=I+At+{1 \over 2!}(At)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(At)^{n} \over n!}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e8d2f2efa70adae1e1331a055e785f388d3377)
מטלאב:
באמצעות התמרת לפלס
[עריכה]
![{\displaystyle \ {\dot {\vec {x}}}=A{\vec {x}}\quad \Rightarrow \quad s{\vec {X}}(s)-{\vec {X}}_{0}=A{\vec {X}}(s)\quad \Rightarrow \quad {\vec {X}}(s)=[sI-A]^{-1}{\vec {X}}_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2a3d4e42aacda7f85690a8153743672d0da79c)
נבצע התמרה הפוכה, חזרה למישור הזמן:
![{\displaystyle \ {\vec {x}}(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{\left[sI-A\right]^{-1}{\vec {X}}_{0}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cb59d2fb60d4f87186e2e12866733c2f654305)
כך שבזמן אפס:
![{\displaystyle \ \phi (t)=\phi (t,0)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{\left[sI-A\right]^{-1}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08138c67920847b5c86683ffa95da74af914add7)
כלומר מטריצת המעבר היא:
![{\displaystyle \ \phi (t)=e^{At}={\mathcal {L}}^{-1}\left\{\left[sI-A\right]^{-1}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165cfe222d7a8142b6f562884ec61e52458086ff)
(להשלים)
טרנספורמציה לינארית של משתני המצב
[עריכה]
כזכור, מערכת משתני המצב מוגדרת כך:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\vec {x}}}=A{\vec {x}}+B{\vec {u}}\\{\vec {y}}=C{\vec {x}}+D{\vec {u}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53ebedfd456a9b76cb6397157caa52db0eef4874)
נגדיר וקטור מצב חדש באמצעות מטרית המעבר Q:
![{\displaystyle \ {\vec {z}}=Q{\vec {x}},\ {\vec {z}}(t_{0})=Q{\vec {x}}_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdcf09863621524670c26c9e13059ac2bd1e45c0)
כאשר Q מן הסתם הפיכה, כלומר:
, ואז:
![{\displaystyle \ {\begin{cases}{\vec {x}}=Q^{-1}{\vec {z}}\\{\dot {\vec {x}}}=Q^{-1}{\dot {\vec {z}}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ecf7cfe8a4973018b047acee56e6a5b7e965ce4)
אם נציב ביטויים אלו למערכת משתני המצב, נקבל:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\vec {z}}}=QAQ^{-1}{\vec {z}}+QB{\vec {u}}\\{\vec {y}}=CQ^{-1}{\vec {z}}+D{\vec {u}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917882bcd4c2e7f0fe1db0d9852c2176716ac46c)
נגדיר את הביטויים:
![{\displaystyle \ {\begin{cases}{\tilde {A}}=QAQ^{-1},\ {\tilde {B}}=QB\\{\tilde {C}}=CQ^{-1}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44484d18e7575c1a35c8a15c746a8bd5329c3b7f)
ואז:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\vec {z}}}={\tilde {A}}{\vec {z}}+{\tilde {B}}{\vec {u}}\\{\vec {y}}={\tilde {C}}{\vec {z}}+D{\vec {u}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b69cdc0628ea393f96f552a42262bd91b67cb73)
טרנספורמציה קנונית: לכסון משוואת המצב
[עריכה]
נסמן
הערכים העצמיים והוקטורים העצמיים המתאימים להם, של המטריצה A, ונניח בפיתוח זה כי הם שונים זה מזה, כלומר:
![{\displaystyle \ \lambda _{i}{\vec {v}}_{i}=A{\vec {v}}_{i}\ ,\quad \lambda _{i}\neq \lambda _{j}\ \quad \forall i\neq j;\;\;i,j=1,...,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b68a40142c04bb22001aef56658283af3f76c47)
נגדיר:
![{\displaystyle \ V=Q^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf129ba1f976c4d2e928f9ce612cb597e65873c1)
כך ש:
![{\displaystyle \ {\vec {x}}=V{\vec {z}},\quad {\vec {z}}_{0}=V^{-1}{\vec {x}}_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327536112561143c27d614b7219740659f2927f4)
ו-V היא מטריצת הוקטורים העצמיים, כך ש:
![{\displaystyle \ V=[{\vec {v}}_{1}\ {\vec {v}}_{2}\ \cdots \ {\vec {v}}_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a169411e0d12d14e731f848bfcc6c8dbfa7dac)
ו-Λ היא מטריצה אלכסונית של הערכים העצמיים:
![{\displaystyle \ \Lambda ={\mbox{diag}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\ \cdots \ \lambda _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176f7328a3aa44b6561a60b74d418e047730fc7b)
נבצע את המכפלה AV לשם הבהרה:
![{\displaystyle \ AV=[A{\vec {v}}_{1}\ A{\vec {v}}_{2}\ \cdots \ A{\vec {v}}_{n}]=[\lambda _{1}{\vec {v}}_{1}\ \lambda _{2}{\vec {v}}_{2}\ \cdots \ \lambda _{n}{\vec {v}}_{n}]=\underbrace {[{\vec {v}}_{1}\ {\vec {v}}_{2}\ \cdots \ {\vec {v}}_{n}]} _{V}\underbrace {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}} _{\Lambda }=V\Lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e62db3eb66f50825df82564de97a5d537b436aa5)
ולכן:
![{\displaystyle \ A=V\Lambda V^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14789cbc19d0956d99f229ed662a47cea2de848d)
כך שמתקבל:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\vec {z}}}=\Lambda {\vec {z}}+V^{-1}B{\vec {u}}\\{\vec {y}}=CV{\vec {z}}+D{\vec {u}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abcb7fcfc5752ffc2c6f35b8667f8f842fd2f57c)
|
|
![{\displaystyle \ \phi (t)=e^{\Lambda t}={\begin{bmatrix}e^{\lambda _{1}t}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &e^{\lambda _{n}t}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7079196d96510635261c9ab041bd7202f37f97c4)
לשם המשך הפיתוח, נשתמש בקשר הבא:
![{\displaystyle \ A=V\Lambda V^{-1}\quad \Rightarrow \quad A^{n}=V\Lambda ^{n}V^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0954400764bcab2c2788ac183073ecd10d5e7d15)
כך שמתקיים:
![{\displaystyle \ e^{At}=I+At+{(At)^{2} \over 2}+\cdots =VV^{-1}+V\Lambda V^{-1}t+{(V\Lambda V^{-1})^{2} \over 2!}t^{2}+\cdots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4784a2fb5fd40367c6eb52818acd454691065d)
![{\displaystyle \ =V(I+\Lambda t+{(\Lambda t)^{2} \over 2!}+\cdots )V^{-1}=Ve^{\Lambda t}V^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c30e6d895adfc8d20f22b79df74138dc20f62f0)
לסיכום:
![{\displaystyle \ e^{At}=Ve^{\Lambda t}V^{-1}\quad \Longleftrightarrow \quad e^{\Lambda t}=V^{-1}e^{At}V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4d7ddb9c61248d06d0d73f1154fbe090aa42d64)
ערכים עצמיים מריבוי r
[עריכה]
(להשלים)