מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
עקומי בודה הם דרך נוחה להסתכלות על תגובת האמפליטודה ותגובת התדר של מערכת.
באמצעות שימוש בתכונות הלוגריתם מפרקים את פונקצית התמסורת לסכומים והפרשים כך שניתן לצייר את התוצאה ללא קושי.
בסופו של התהליך מתקבלים שני גרפים, האחד עבור הגבר המערכת והשני עבור הפאזה, כאשר שניהם תלויים בתדירות הכניסה אשר משורטטת על ציר לוגריתמי.
דיאגרמת בודה (או "עקומי בודה") היא קירוב של הערכים האמיתיים. את הסטייה ניתן לחשב בנקודות אסטרטגיות.
עקומי בודה נקראים "אסימפטוטיים" היות והם מייצגים ערכים אליהם שואפת התנהגותה האמיתית של המערכת.
שרטוט העקומים המדוייקים ("אמיתיים") בהנתן פונקציית התמסורת המתארת את המערכת, דורש שימוש בתוכנית מחשב.
נניח כי נתונה פונקצית תמסורת מהצורה:
G
(
s
)
=
B
(
s
)
A
(
s
)
=
s
m
+
b
m
−
1
s
m
−
1
+
.
.
.
+
b
0
s
n
+
a
n
−
1
s
n
−
1
+
.
.
.
+
a
0
{\displaystyle \ G(s)={B(s) \over A(s)}={\frac {s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+...+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{0}}}}
על מנת לשרטט עקום בודה, יש להמיר את המבנה לצורת בודה:
G
(
s
)
=
K
0
(
τ
1
′
s
+
1
)
(
τ
2
′
s
+
1
)
⋯
(
τ
m
′
s
+
1
)
(
τ
1
s
+
1
)
(
τ
2
s
+
1
)
⋯
(
τ
n
s
+
1
)
{\displaystyle \ G(s)=K_{0}{\frac {(\tau _{1}'s+1)(\tau _{2}'s+1)\cdots (\tau _{m}'s+1)}{(\tau _{1}s+1)(\tau _{2}s+1)\cdots (\tau _{n}s+1)}}}
שימו לב כי מתקיים:
K
0
=
b
0
a
0
{\displaystyle \ K_{0}={b_{0} \over a_{0}}}
G
(
j
ω
)
=
K
0
(
τ
1
′
j
ω
+
1
)
(
τ
2
′
j
ω
+
1
)
⋯
(
τ
m
′
j
ω
+
1
)
(
τ
1
j
ω
+
1
)
(
τ
2
j
ω
+
1
)
⋯
(
τ
n
j
ω
+
1
)
{\displaystyle \ G(j\omega )=K_{0}{\frac {(\tau _{1}'j\omega +1)(\tau _{2}'j\omega +1)\cdots (\tau _{m}'j\omega +1)}{(\tau _{1}j\omega +1)(\tau _{2}j\omega +1)\cdots (\tau _{n}j\omega +1)}}}
מתכונות המספרים המרוכבים נקבל:
k
(
ω
)
=
|
G
(
j
ω
)
|
=
K
0
(
τ
1
′
ω
)
2
+
1
(
τ
2
′
ω
)
2
+
1
⋯
(
τ
m
′
ω
)
2
+
1
(
τ
1
ω
)
2
+
1
(
τ
2
ω
)
2
+
1
⋯
(
τ
n
ω
)
2
+
1
{\displaystyle \ k(\omega )=|G(j\omega )|=K_{0}{\frac {{\sqrt {(\tau _{1}'\omega )^{2}+1}}{\sqrt {(\tau _{2}'\omega )^{2}+1}}\cdots {\sqrt {(\tau _{m}'\omega )^{2}+1}}}{{\sqrt {(\tau _{1}\omega )^{2}+1}}{\sqrt {(\tau _{2}\omega )^{2}+1}}\cdots {\sqrt {(\tau _{n}\omega )^{2}+1}}}}}
ϕ
(
ω
)
=
arg
G
(
j
ω
)
=
tan
−
1
(
τ
1
′
ω
)
+
tan
−
1
(
τ
2
′
ω
)
+
⋯
+
tan
−
1
(
τ
m
′
ω
)
−
[
tan
−
1
(
τ
1
ω
)
+
tan
−
1
(
τ
2
ω
)
+
⋯
+
tan
−
1
(
τ
n
ω
)
]
{\displaystyle \ {\begin{aligned}\phi (\omega )&=\arg G(j\omega )=\tan ^{-1}(\tau _{1}'\omega )+\tan ^{-1}(\tau _{2}'\omega )\ +\cdots \\&+\ \tan ^{-1}(\tau _{m}'\omega )-\left[\tan ^{-1}(\tau _{1}\omega )+\tan ^{-1}(\tau _{2}\omega )\ +\cdots +\ \tan ^{-1}(\tau _{n}\omega )\right]\\\end{aligned}}}
כאשר נעבור לסקלה לוגריתמית כל המכפלות והחלוקות יהפכו לחיבורים ולחיסורים, ואז נוכל לצייר תרומה של כל איבר בנפרד על הגרף, ולבסוף לסכם. לשם כך נגדיר:
k
d
B
(
ω
)
=
△
20
log
10
k
(
ω
)
{\displaystyle \ k_{dB}(\omega )\ {\overset {\triangle }{=}}\ 20\log _{10}k(\omega )}
ואז:
k
d
B
(
ω
)
=
20
[
log
10
K
0
+
log
10
(
τ
1
′
ω
)
2
+
1
+
⋯
+
log
10
(
τ
m
′
ω
)
2
+
1
−
log
10
(
τ
1
ω
)
2
+
1
−
⋯
−
log
10
(
τ
n
ω
)
2
+
1
]
{\displaystyle \ {\begin{aligned}k_{dB}(\omega )&=20\left[\log _{10}K_{0}+\log _{10}{\sqrt {(\tau _{1}'\omega )^{2}+1}}\ +\cdots \right.\\&\left.+\ \log _{10}{\sqrt {(\tau _{m}'\omega )^{2}+1}}-\log _{10}{\sqrt {(\tau _{1}\omega )^{2}+1}}\ -\cdots -\ \log _{10}{\sqrt {(\tau _{n}\omega )^{2}+1}}\right]\\\end{aligned}}}
שימו לב כי:
f
(
ω
)
=
20
log
10
(
τ
ω
)
2
+
1
=
10
log
10
[
(
τ
ω
)
2
+
1
]
{\displaystyle \ f(\omega )=20\log _{10}{\sqrt {(\tau \omega )^{2}+1}}=10\log _{10}\left[(\tau \omega )^{2}+1\right]}
כך שכל מה שנשאר הוא לדעת כיצד לצייר ביטויים כמו זה האחרון.
עבור
τ
ω
<<
1
{\displaystyle \ \tau \omega <<1}
f
(
ω
)
≈
10
log
10
1
=
0
{\displaystyle \ f(\omega )\approx 10\log _{10}1=0}
עבור
τ
ω
>>
1
{\displaystyle \ \tau \omega >>1}
f
(
ω
)
≈
20
log
10
τ
ω
=
20
[
log
10
ω
+
log
10
τ
]
{\displaystyle \ f(\omega )\approx 20\log _{10}\tau \omega =20[\log _{10}\omega +\log _{10}\tau ]}
כך שעל נייר חצי-לוגריתמי מקרה (2) הוא קו ישר.
נתבונן במתחולל כל דקאדה בעקום הבודה:
20
log
10
(
τ
10
ω
)
=
20
log
10
ω
τ
+
20
⇒
Δ
10
=
20
d
B
{\displaystyle \ 20\log _{10}(\tau 10\omega )=20\log _{10}\omega \tau +20\quad \Rightarrow \ \Delta _{10}=20dB}
כלומר שיפוע העקום הוא
20
d
B
d
e
c
{\displaystyle 20{dB \over dec}}
תדירות הברך (corner frequency):
f
(
ω
c
)
=
20
log
10
ω
c
τ
=
0
⇒
ω
c
=
1
τ
{\displaystyle \ f(\omega _{c})=20\log _{10}\omega _{c}\tau =0\ \Rightarrow \ \omega _{c}={1 \over \tau }}
ההפרש המקסימלי בין הגרף לאסימפטוטה:
f
(
ω
c
)
=
20
log
10
1
+
1
≈
3
d
B
{\displaystyle \ f(\omega _{c})=20\log _{10}{\sqrt {1+1}}\approx 3dB}
[ עריכה ] עקום בודה בו מרחק האפס מהקוטב הוא דקאדה אחת. מציירים בנפרד את עקום הבודה עבור כל קוטב וכל אפס (לכל קוטב או אפס מריבוי הגדול מ-1 יהיה גרף בודד, כלומר את המקרה
(
s
+
3
)
4
{\displaystyle \ (s+3)^{4}}
לאחר שכל הגרפים הנפרדים מוכנים, מאחדים אותם לגרף בודד באמצעות תכונת הלינאריות.
קוטב מוריד את עקום ההגבר ואת עקום הפאזה, ואילו אפס מעלה אותם. [ עריכה ] שיפוע עקום ההגבר הינו אפס, עד לקוטב (או אפס) אשר גורם לשיפוע בעקום ההגבר.
שיפוע עקום הפאזה הינו אפס, פרט לאזור סביב הקוטב (או האפס) המושפע ממנו. תחום ההשפעה הינו מדקאדה אחת לפני הקוטב, ועד דקאדה אחת אחרי אותו קוטב.
קוטב מריבוי rp גורם לשיפוע של
−
20
r
p
[
d
B
d
e
c
]
{\displaystyle \ -20r_{p}\left[{\tfrac {dB}{dec}}\right]}
−
90
o
r
p
{\displaystyle \ -90^{o}r_{p}}
אפס מריבוי rz גורם לשיפוע של
20
r
z
[
d
B
d
e
c
]
{\displaystyle \ 20r_{z}\left[{\tfrac {dB}{dec}}\right]}
90
o
r
z
{\displaystyle \ 90^{o}r_{z}}
בכל גרף בודד כזה, עקום הפאזה הינו אנטי-סימטרי ביחס ל-
45
o
r
{\displaystyle \ 45^{o}r}
[ עריכה ] (להשלים)
[ עריכה ] במידה וישנו אפס ממשי במערכת, תרומתו לעקום ההגבר תהיה רגילה בעוד תרומתו לעקום הפאזה תהיה בעלת שיפוע שלילי.
(להשלים)
נניח כי
G
(
s
)
=
2
s
2
+
0.4
s
+
1
{\displaystyle \ G(s)={2 \over s^{2}+0.4s+1}}
num =[ 0 2 ];
den =[ 1 0.4 1 ];
bode ( num , den )
grid on ;
num =[ 0 40 ];
den = conv ([ 1 10 - 25 * i ],[ 1 10 + 25 * i ]);
G = tf ( num , den );
bode ( G )
grid on ;
![{\displaystyle \ {\begin{aligned}\phi (\omega )&=\arg G(j\omega )=\tan ^{-1}(\tau _{1}'\omega )+\tan ^{-1}(\tau _{2}'\omega )\ +\cdots \\&+\ \tan ^{-1}(\tau _{m}'\omega )-\left[\tan ^{-1}(\tau _{1}\omega )+\tan ^{-1}(\tau _{2}\omega )\ +\cdots +\ \tan ^{-1}(\tau _{n}\omega )\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4f75819736278f56202d9db84a6013c5fce7d8)
![{\displaystyle \ {\begin{aligned}k_{dB}(\omega )&=20\left[\log _{10}K_{0}+\log _{10}{\sqrt {(\tau _{1}'\omega )^{2}+1}}\ +\cdots \right.\\&\left.+\ \log _{10}{\sqrt {(\tau _{m}'\omega )^{2}+1}}-\log _{10}{\sqrt {(\tau _{1}\omega )^{2}+1}}\ -\cdots -\ \log _{10}{\sqrt {(\tau _{n}\omega )^{2}+1}}\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f6e5fc2bc1b254efc94819efb7d37ac88c9f3a)
![{\displaystyle \ f(\omega )=20\log _{10}{\sqrt {(\tau \omega )^{2}+1}}=10\log _{10}\left[(\tau \omega )^{2}+1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1056aaf626fde547f22ec269e740b66056cd264)
![{\displaystyle \ f(\omega )\approx 20\log _{10}\tau \omega =20[\log _{10}\omega +\log _{10}\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/616437f3f33c28e1f8f3646cc152566795660c4e)
![{\displaystyle \ -20r_{p}\left[{\tfrac {dB}{dec}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05a52ad1f477ea7005696e1e3e1968781282f88)
![{\displaystyle \ 20r_{z}\left[{\tfrac {dB}{dec}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6804d26e61b7cc9bc596faf24173fbb2f7f4d4b2)
