תורת הבקרה/מערכת מסדר שני

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

R - כניסה; C - יציאה.

למערכת מסדר שני, כלומר n=2, יש שני קטבים, ונהוג להציג את התמסורת בצורה:

$\ G(s)={\frac {As+B}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}$

כאשר ζ היא ריסון המערכת ו-ω_n היא התדירות הטבעית, אך על כך בהמשך.

קטבי המערכת:

$\ s_{1,2}=-\zeta \omega _{n}\pm {\sqrt {\zeta ^{2}\omega _{n}^{2}-\omega _{n}^{2}}}=-\omega _{n}\left(\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)$

התקבל איפוא שהפרמטר ζ משפיע על מיקום קטבי המערכת (למעשה זאת הסיבה לכך שנבחרה צורת הסימון הזו). נבחין בין כמה מקרים:

• $\ {\underline {\zeta ^{2}>1}}$:
  • במקרה זה, שני השורשים הם ממשיים שליליים.
  • עבור $\ \zeta ^{2}\gg 1$ נקבל:

  $\ s_{1,2}\approx -\omega _{n}\left(\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}}}\right)=0,-2\zeta \omega _{n}$

• $\ {\underline {\zeta ^{2}=1}}$:
  • קוטב ממשי כפול: $\ s_{1,2}=-\omega _{n}$.
• $\ {\underline {0<\zeta ^{2}<1}}$:
  • קטבים מרוכבים (יכולים להיות קטבים צמודים בלבד).
• $\ {\underline {\zeta =0}}$:
  • הקטבים על הציר המדומה: $\ s_{1,2}=\pm j\omega _{n}$.

לכל מקרה ומקרה השפעה שונה של המערכת לתגובה חיצונית מבחינת התייצבות ודעיכת תופעות המעבר. לכן הפרמטר ζ נקרא ריסון.

כדאי לדעת: באופן מעשי לא ניתקל בערך ריסון שלילי מכיוון שמשמעותו של ערך שלילי היא הפוכה מריסון: התבדרות (כאשר ζ<0 הקטבים יתקבלו בחצי המישור הימני - מערכת מתבדרת).

קטבים מרוכבים

נעסוק במקרה $\ 0<\zeta <1$. לשם הצגת השורשים בצורה נוחה על המישור המרוכב, נשנה את הביטוי עבור הקטבים:

$\ s_{1,2}=-\omega _{n}\left(\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\right)=-\omega _{n}\left(\zeta \pm j{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right)$

כך שמתקבל:

$\ {\mbox{Re}}(s_{1,2})=-\omega _{n}\zeta \ ,\quad {\mbox{Im}}(s_{1,2})=\pm \omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$

והגודל של כל הקטבים הללו הינו:

$\ |s_{1,2}|={\sqrt {\omega _{n}^{2}\zeta ^{2}+\omega _{n}^{2}(1-\zeta ^{2})}}=\omega _{n}$

כלומר כל הקטבים נמצאים על חצי מעגל ברדיוס ω_n. לכן תדירות זו נקראת התדירות הטבעית (natural frequency). מאותה סיבה, אם נגדיל את ω_n בעוד ש-ζ יישאר קבוע, הקטבים יתרחקו מן הראשית על אותה קרן.

נהוג לסמן:

• החלק הממשי:

$\ \sigma =\zeta \omega _{n}$

• פאזה:

$\ \tan \phi =-{\zeta \over {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$

• את התדירות המרוסנת (damped frequency):

$\ \omega _{d}=\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}$

תגובה לכניסת מדרגה

$\ r(t)=u(t)\ \Rightarrow \ R(s)={1 \over s}\ \Rightarrow \ C(s)=R(s)G(s)={G(s) \over s}={\frac {As+B}{s\left(s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}\right)}}$

כאשר נבצע התמרת לפלס חזרה למישור הזמן, נקבל:

$\ c(t)=u(t)\cdot \left[{\tilde {A}}+{\tilde {B}}e^{-\zeta \omega _{n}t}\cos \left(\omega _{n}t{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}+\phi \right)\right]$

$\ =u(t)\cdot \left\{{\tilde {A}}+{\tilde {B}}e^{-\sigma t}\left[\cos(\omega _{d}t)+{\sigma \over \omega _{d}}\sin(\omega _{d}t)\right]\right\}$

כאשר: $\ \tan \phi =-{\zeta \over {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$

כלומר התגובה היא סינוסואידלית דועכת מעריכית, ה"רוכבת" על גבי קבוע $\ {\tilde {A}}={B \over \omega _{n}^{2}}$, וככל ש-σ גדול יותר (ערך ממשי שלילי יותר של הקוטב), הדעיכה מהירה יותר.

תגובת יתר (overshoot)

ה-overshoot הוא כינוי ל"קפיצה" הראשונה של התגובה מעל הערך של תגובת המצב המתמיד(הערך הקבוע שסביבו דועכת הסינוסואידה). ה-overshoot מסומן כ-M_p (קיצור של peak magnitude) ונמדד באחוזים מעל תגובת המצב המתמיד. קוארדינת הזמן השייכת ל-M_p מסומנת בתור t_p, ומוצאים אותה על ידי גזירת תגובת המערכת במישור הזמן והשוואה לאפס (מציאת נקודת קיצון). מהביטוי הכללי לתגובת המערכת רואים כי הנגזרת תתאפס עבור:

$\ t_{n}={\pi n \over \omega _{d}},\ n=0,1,2,...$

וכי זמן המחזור הינו קבוע ושווה ל:

$\ T_{d}={2\pi \over \omega _{d}}$

לכן תגובת היתר מקבלת את הצורה:

$\ M_{p}=e^{-\zeta \omega _{n}t_{p}}=\exp {\left(-{\pi \zeta \over {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\right)}\ ,\qquad t_{p}={\pi \over \omega _{d}}$

כדאי לדעת: ζ מכתיבה את תגובת היתר.

זמן העליה (rise time)

זמן העליה מוגדר בתור הזמן שבו לוקח לתגובה להגיע מ-10% ל-90% של תגובת המצב המתמיד.

כדאי לדעת: ωn מכתיבה את מהירות התגובה.

זמן ההתייצבות (settling time)

זמן ההתייצבות מוגדר בתור הזמן שלוקח לתגובת היתר להגיע לסטייה של 2% בלבד מהמצב המתמיד. חישוב זמן ההתייצבות מתבצע על המעטפת המעריכית, כי לא קיים כלי אנליטי לפתרון מדויק:

$\ {\tilde {B}}e^{-\zeta \omega _{n}t_{s}}=0.02\quad \Rightarrow \quad t_{s}=-{1 \over \zeta \omega _{n}}\ln {0.02 \over {\tilde {B}}}$

כדאי לדעת: זמן ההתיצבות תלוי ב-ζ וב-ωn.

דקרמנט לוגריתמי (Log Decrement)

בעזרת שיטת הדקרמנט הלוגריתמי ניתן למצוא את גודל הריסון מתוך תוצאות ניסוי על ידי חישוב ערכן של שתי מקסימות עוקבות (יחסית למצב המתמיד):

$\ \delta =\ln {c_{1} \over c_{2}}=\ln {c(t_{p})-c_{ss} \over c(t_{p}+T_{d})-c_{ss}}=\ln {e^{-\sigma t_{p}} \over e^{-\sigma (t_{p}+T_{d})}}=\sigma T_{d}$

$\ \quad \Rightarrow \quad \delta ={2\pi \zeta \over {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\qquad \Rightarrow \qquad \zeta ={\sqrt {\delta ^{2} \over 4\pi ^{2}+\delta ^{2}}}$

כאשר $\ c_{ss}={\tilde {A}}={B \over \omega _{n}^{2}}$ היא תגובת המצב המתמיד.

מקרה פרטי

עקומי בודה למערכות מסדר שני.

ביטויים מקורבים עבור המקרה הנפוץ

$A=0,\ B=\omega _{n}^{2},\ {\tilde {A}}=1,\ {\tilde {B}}=-{1 \over {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$

$\ G(s)={\frac {\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}$

הם במקרה זה:

• תגובה לכניסת מדרגה:

  $\ c(t)=u(t)\cdot \left\{1-e^{-\zeta \omega _{n}t}\left[\cos(\omega _{d}t)+{\sigma \over \omega _{d}}\sin(\omega _{d}t)\right]\right\}$

  $\ =u(t)\cdot \left\{1-{1 \over {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}e^{-\zeta \omega _{n}t}\left[\cos(\omega _{d}t+\phi )\right]\right\}$

  כאשר: $\ \tan \phi =-{\zeta \over {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$

• תגובת היתר: עבור מקדמי ריסון קטנים נקבל: $\ M_{p}\approx 1-{\zeta \over 0.6}$
• זמן עלייה: $\ t_{r}\approx {1+1.1\zeta +1.4\zeta ^{2} \over \omega _{n}}\approx {0.8+2.5\zeta \over \omega _{n}}\overbrace {\approx } ^{\zeta \approx 0.4}{1.8 \over \omega _{n}}$
• זמן התייצבות:
  • עבור מעטפת של 1%: $\ t_{s}\approx {4.6 \over \zeta \omega _{n}}$.
  • עבור מעטפת של 5%: $\ t_{s}\approx {3 \over \zeta \omega _{n}}$.

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: ריסון (אנגלית)

• סקירה מקיפה על מערכות סדר שני באתר אוניברסיטת באקנל.