תורת הבקרה/מערכת מסדר שני

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש


פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.



R - כניסה; C - יציאה.

למערכת מסדר שני, כלומר n=2, יש שני קטבים, ונהוג להציג את התמסורת בצורה:

כאשר ζ היא ריסון המערכת ו-ωn היא התדירות הטבעית, אך על כך בהמשך[1].

קטבי המערכת:

התקבל איפוא שהפרמטר ζ משפיע על מיקום קטבי המערכת (למעשה זאת הסיבה לכך שנבחרה צורת הסימון הזו). נבחין בין כמה מקרים:

  • :
    • במקרה זה, שני השורשים הם ממשיים שליליים.
    • עבור נקבל:
  • :
    • קוטב ממשי כפול: .
  • :
    • קטבים מרוכבים (יכולים להיות קטבים צמודים בלבד).
  • :
    • הקטבים על הציר המדומה: .

לכל מקרה ומקרה השפעה שונה של המערכת לתגובה חיצונית מבחינת התייצבות ודעיכת תופעות המעבר. לכן הפרמטר ζ נקרא ריסון.


כדאי לדעת:

באופן מעשי לא ניתקל בערך ריסון שלילי מכיוון שמשמעותו של ערך שלילי היא הפוכה מריסון: התבדרות (כאשר ζ<0 הקטבים יתקבלו בחצי המישור הימני - מערכת מתבדרת).

קטבים מרוכבים[עריכה]

Damping coefficient circle plain.svg

נעסוק במקרה . לשם הצגת השורשים בצורה נוחה על המישור המרוכב, נשנה את הביטוי עבור הקטבים:

כך שמתקבל:

והגודל של כל הקטבים הללו הינו:

כלומר כל הקטבים נמצאים על חצי מעגל ברדיוס ωn. לכן תדירות זו נקראת התדירות הטבעית (natural frequency). מאותה סיבה, אם נגדיל את ωn בעוד ש-ζ יישאר קבוע, הקטבים יתרחקו מן הראשית על אותה קרן.

נהוג לסמן:

  • החלק הממשי:
  • פאזה:
  • את התדירות המרוסנת (damped frequency):

תגובה לכניסת מדרגה[עריכה]

כאשר נבצע התמרת לפלס חזרה למישור הזמן, נקבל:

כאשר:

כלומר התגובה היא סינוסואידלית דועכת מעריכית, ה"רוכבת" על גבי קבוע [2], וככל ש-σ גדול יותר (ערך ממשי שלילי יותר של הקוטב), הדעיכה מהירה יותר.

תגובת יתר (overshoot)[עריכה]

ה-overshoot הוא כינוי ל"קפיצה" הראשונה של התגובה מעל הערך של תגובת המצב המתמיד(הערך הקבוע שסביבו דועכת הסינוסואידה). ה-overshoot מסומן כ-Mp (קיצור של peak magnitude) ונמדד באחוזים מעל תגובת המצב המתמיד. קוארדינת הזמן השייכת ל-Mp מסומנת בתור tp, ומוצאים אותה על ידי גזירת תגובת המערכת במישור הזמן והשוואה לאפס (מציאת נקודת קיצון). מהביטוי הכללי לתגובת המערכת רואים כי הנגזרת תתאפס עבור:

וכי זמן המחזור הינו קבוע ושווה ל:

לכן תגובת היתר מקבלת את הצורה:


כדאי לדעת:

ζ מכתיבה את תגובת היתר.

זמן העליה (rise time)[עריכה]

זמן העליה מוגדר בתור הזמן שבו לוקח לתגובה להגיע מ-10% ל-90% של תגובת המצב המתמיד.


כדאי לדעת:

ωn מכתיבה את מהירות התגובה.

זמן ההתייצבות (setting time)[עריכה]

זמן ההתייצבות מוגדר בתור הזמן שלוקח לתגובת היתר להגיע לסטייה של 2% בלבד מהמצב המתמיד. חישוב זמן ההתייצבות מתבצע על המעטפת המעריכית, כי לא קיים כלי אנליטי לפתרון מדויק:


כדאי לדעת:

זמן ההתיצבות תלוי ב-ζ וב-ωn.

דקרמנט לוגריתמי (Log Decrement)[עריכה]

בעזרת שיטת הדקרמנט הלוגריתמי ניתן למצוא את גודל הריסון מתוך תוצאות ניסוי על ידי חישוב ערכן של שתי מקסימות עוקבות (יחסית למצב המתמיד):

כאשר היא תגובת המצב המתמיד.

מקרה פרטי[עריכה]

עקומי בודה למערכות מסדר שני.

ביטויים מקורבים עבור המקרה הנפוץ

הם במקרה זה:

  • תגובה לכניסת מדרגה:
    כאשר:
  • תגובת היתר: עבור מקדמי ריסון קטנים נקבל:
  • זמן עלייה:
  • זמן התייצבות:
    • עבור מעטפת של 1%: .
    • עבור מעטפת של 5%: .

הערות[עריכה]

  1. ^ לעת עתה, הם רק סימונים, ומשמעותם תובהר בהמשך.
  2. ^ תנאי משפט הערך הסופי מתקיימים במקרה זה, ומתקבל: .

קישורים חיצוניים[עריכה]