תורת הבקרה/יציבות

על מערכת בקרה להיות יציבה, כלומר עבור כניסה (או הפרעה) חסומה תתקבל תגובה חסומה. כמו כן, עבור כניסת הלם תגובת המערכת צריכה לדעוך לאפס עבור $\ t\to \infty$ (אם התגובה דועכת לקבוע כלשהו או תונדת בתחום סגור, אז המערכת הינה בגבול היציבות).

נניח כי ניתן לתאר מערכת באמצעות פונקצית תמסורת G באופן הבא:

\ C(s)=G(s)R(s)

כאשר R הוא אות הכניסה ו-C הוא אות היציאה. אופיה של התמרת לפלס מבטיח כי ניתן יהיה לבטא את פונקצית התמסורת כמנה של שני פולינומים מצומצמים אשר ניתן לכתבם בצורת מכפלות של גורמים לינאריים:

\ G(s)=K_{0}{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}=K_{0}{\frac {s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+...+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{0}}}=K_{0}{B(s) \over A(s)}

כאשר $\ p_{i},z_{j}$ הם ממשיים או זוגות של מרוכבים צמודים. שימו לב כי במערכת פיזיקלית, n≥m.

נתבונן במקרה של כניסת הלם: $\ r(t)=\delta (t)\ \Rightarrow \ R(s)=1$ . במקרה זה תגובת המעכת שווה לפונקצית התמסורת, ובמישור הזמן שווה ל^[1]:

\ c(t)=\sum _{i=1}^{n}K_{i}e^{-p_{i}t}

התמרת לפלס:

\ {\mathcal {L}}\left(e^{-at}\right)={1 \over s+a}

כאמור, במערכת יציבה התגובה להלם תדעך לאפס, וכדי שזה יקרה, החלק הממשי של כל קטבי פונקצית התמסורת^[2] צריך להיות חיובי ( $\ \operatorname {Re} (p_{i})>0$ ), אחרת האקספוננט יתבדר (במילים אחרות, הקטבים צריכים להיות ב-OLHP). שימו לב כי קטבים על הציר המדומה אינם מקיימים דרישה זו (כלומר יגרמו להתבדרות המערכת).

סיכום

בהנחה ופונקצית התמסורת היא מנה של פולינומים מצומצמים:

רק קטבי פונקצית התמסורת משפיעים על היציבות.
אם כל קטבי פונקצית התמסורת הם ב-OLHP אז המערכת היא יציבה.
אם קיים קוטב אחד או יותר על הציר המדומה, המערכת היא בגבול היציבות.
יציבות מערכת בחוג סגור לא מחייבת יציבות בחוג פתוח, וגם ההפך: יציבות בחוג פתוח לא מחייבת יציבות בחוג סגור.

מטלאב

ניתן להיעזר בפקודה damp של מטלאב לצורך בחינת יציבות. הפקודה damp מקבלת כפרמטר וקטור עמודה של שורשים (ערכים עצמיים), ומציגה כפלט את הריסון והתדירות של כל קוטב:

>> damp(roots([1 2 5 -2 3]))
                                                      
       Eigenvalue          Damping     Freq. (rad/s)  
                                                      
 -1.28e+00 + 2.07e+00i     5.26e-01       2.43e+00    
 -1.28e+00 - 2.07e+00i     5.26e-01       2.43e+00    
  2.79e-01 + 6.55e-01i    -3.91e-01       7.12e-01    
  2.79e-01 - 6.55e-01i    -3.91e-01       7.12e-01

הערות

^ ביטוי זה נכון כאשר אין קטבים כפולים. במקרה של קטבים כפולים יתקבלו איברים אחרים, אך אלו לא ישנו את המסקנה הכללית.
^ המכנה של פונקצית התמסורת נקרא הפולינום האופייני, וקטבי פונקצית התמסורת הם-הם שורשי הפולינום האופייני.

[1] ביטוי זה נכון כאשר אין קטבים כפולים. במקרה של קטבים כפולים יתקבלו איברים אחרים, אך אלו לא ישנו את המסקנה הכללית.

[2] המכנה של פונקצית התמסורת נקרא הפולינום האופייני, וקטבי פונקצית התמסורת הם-הם שורשי הפולינום האופייני.

[1]

[2]