תורת הבקרה/אופטימיזציית פרמטרים

בקרה אופטימלית

מטרת הבקרה האופטימלית הוא למצוא חוק בקרה שימלא קריטריון אופטימליות כלשהו, למשל יצריך עלות מינימלית (מינימום אנרגיה). בעית בקרה כוללת פונקציונל עלות שהוא פונקציה של משתני מצב ושל משתני בקרה. בקרה אופטימלית היא אוסף משוואות דיפרנציאליות המתארות מסלול של משתני הבקרה הממזער את פונקציונל העלות.

נניח כי נהג נוסע ברכב בכביש עקלקל תוך לחיצות על דוושת הגז. אם בעיית הבקרה האופטימלית היא למזער את זמן השלמת המסלול, אז:

• חוק הבקרה הוא אופן הלחיצה על דוושת הגז.
• המערכת היא הרכב והכביש.
• קריטריון האופטימליות הוא מזעור הזמן.

הערות:

• במקרה זה, פונקציונל עלות מתאים יתן את זמן הנסיעה כתלות במהירות (כפונקציה של הזמן), הגאומטריה, ותנאי ההתחלה של המערכת.
• בבעיות מציאותיות יש לרוב דרישות והגבלות:

1. כמות דלק מוגבלת.
2. לתנועת דוושת הגז יש תחום (לא ניתן ללחוץ דרך רצפת הרכב).
3. יש להתחשב במהירות המותרת בכל קטע כביש.

• ניתן להגדיר בעיות אופטימיזציה אחרות:
  • צריכת דלק מינימילת.
  • עלות הנסיעה, המורכבת ממחיר הדלק ומקנס כספי על איחור מעבר לשעת גג מסוימת.

באופן כללי, פונקציונל העלות הוא סכום של עלויות המסלולים, שבדרך כלל מקבל צורה של אינטגרל על הזמן, ושל העלות של הסופית, שהיא פונקציה של המצב הסופי $\ x(t_{f})$ בלבד:

$\ J=\phi (x(t_{f}))+\int _{0}^{t_{f}}L(x,u,t)\,\mathrm {d} t.$

אופטימיזצית פרמטרים

בהינתן מערכת דינמית יציבה מהצורה

$\ {\dot {x}}=Ax$

והמערכת תלויה בפרמטרים θ, נרצה למזער את פונקצית העלות

$\ J=\int \limits _{0}^{\infty }x^{T}Qx\mathrm {d} t$

נשתמש בקשר:

$\ x^{T}Qx=-{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}(x^{T}Px)$

ונקבל:

$\ J=\int \limits _{0}^{\infty }x^{T}Qx\mathrm {d} t=-x^{T}Px|_{0}^{\infty }=-x^{T}(\infty )Px(\infty )+x^{T}(0)Px(0)=x_{0}^{T}Px_{0}$

כלומר פונציונל העלות מתקבל מתוך תנאי ההתחלה בלבד, והמטריצה הסימטרית הלא ידוע P מתקבלת מתוך פתרון משוואת ליאפונוב עבור P:

$\ A^{T}P+PA=-Q$

אחרי שקבלנו ביטוי ל-J כתלות בפרמטרי הבעיה θ, יש למזער את J לפי פרמטרים אלו. אם מדובר בפרמטר יחיד, יש למצוא ערך כזה שיתן:

$\ {\frac {\partial J}{\partial \theta }}=0$

דוגמה

נניח כי נתונה המערכת הדינמית הבאה, עם פרמטר יחיד k:

$\ {\dot {\vec {x}}}={\begin{bmatrix}1-k&1\\-k&0\end{bmatrix}}{\vec {x}}$

ותנאי התחלה:

$\ {\vec {x}}(0)={\begin{pmatrix}x_{1}^{0}\\0\end{pmatrix}}$

לצורך הדוגמה, נבחר באופן שרירותי את פונקציונל העלות להיות:

$\ J=\int \limits _{0}^{\infty }\left(x_{2}-kx_{1}\right)^{2}\mathrm {d} t$

לכן המטריצה הלא ידועה Q צריכה לקיים:

$\ [x_{1}\quad x_{2}]{\begin{bmatrix}q_{1}&q_{12}\\q_{21}&q_{22}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}=\left(x_{2}-kx_{1}\right)^{2}$

נפתח את שני האגפים

$\ x_{2}^{2}-2kx_{1}x_{2}+k^{2}x_{1}^{2}=q_{1}x_{1}^{2}+\overbrace {(q_{12}+q_{21})} ^{2q_{12}}x_{1}x_{2}+q_{2}x_{2}^{2}$

ונבצע השוואת מקדמים:

$\ \Rightarrow \quad Q={\begin{bmatrix}k^{2}&-k\\-k&1\end{bmatrix}}$

מפתרון משוואת ליאפונוב (ניתן להשתמש במייפל למשל) מתקבל:

$\ P={1 \over 2}{\begin{bmatrix}{k(k+1) \over k-1}&-1\\-1&{k+1 \over k(k-1)}\end{bmatrix}}$

בדיקת מוגדרות חיובית על פי קריטריון סילבסטר מביאה לתנאי k>1.

נחשב כעת את ערכו של פונקציונל העלות:

$\ J=\int \limits _{0}^{\infty }x^{T}Qx\mathrm {d} t=x_{0}^{T}Px_{0}={1 \over 2}[x_{1}^{0}\quad 0]{\begin{bmatrix}{k(k+1) \over k-1}&-1\\-1&{k+1 \over k(k-1)}\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}^{0}\\0\end{pmatrix}}={1 \over 2}{k(k+1) \over k-1}y_{0}^{2}$

נבצע מינימיזציה של J לפי k על ידי השוואת הנגזרת לאפס:

$\ {\frac {\partial J}{\partial k}}=0\quad \Rightarrow \quad k=2.414,-0.414$