פיזיקה תרמית/מבוא מתמטי/דיפרנציאל חלקי ושלם

דיפרנציאל שלם

לפני שנתחיל בדיון על מהותו וחשיבותו של הדיפרנציאל השלם. הבה ניזכר, מה המשמעות של דיפרנציאל. אנו מדברים על פונקציה בעלת מספר משתנים, למשל נתבונן מדובר בפונקציה $\ U(T,V,N)$. פונקציה זו מתארת קשר בין שלושה משתנים - $\;V$ ,$\;T$ ו $\;N$. אם משנים את אחד הערכים של המשתנים בשינוי קטן מאוד (כמובן, אנו מניחים כמו בכל תחום בפיזיקה שהפונקציה $\ U(T,V,N)$ מקיימת את כל התנאים הברורים של "חלקות" שנדרשים מפונקציה שמתארת גודל פיזיקלי) הרי שלאחר שינוי קטן של אחד המשתנים, נקבל שינוי קטן בגודל הפונקציה $\ U(T,V,N)$. על פי הגדרת הדיפרנציאל נקבל שהשינוי הקטן של $\ U(T,V,N)$ (כלומר הדיפרנציאל) מקיים ש

$dU(T,V,N)=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V,N}dT+\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T,N}dV+\left({\frac {\partial U}{\partial N}}\right)_{T,V}dN$

כאשר הסימון $\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V,N}$ מסמן נגזרת חלקית של $\ U(T,V,N)$ לפי $\ T$ כאשר $\ V$ ו $\ N$ משמשים כקבועים בגזירה. ההדגשה ש-$\ V$ ו $\ N$קבועים, נראית בתחילה מעט יתירה, שכן, גזירה חלקית מניחה אוטומטית ששני המשתנים האחרים קבועים אך אנו נראה שתוספת זו מקלה על החישובים בהמשך, שכן אנו נרצה לעיתים להציג פונקציות על ידי משתנים שונים.

הגדרה: נתונה פונקציה בת $\;n$ משתנים. אם הדיפרנציאל של הפונקציה מקיים $df({\overrightarrow {x}})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)_{\{x_{j}:j>1\}}dx_{1}+\dots +\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)_{\{x_{j}:j\neq i\}}dx_{i}+\dots +\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)_{\{x_{j}:j<n\}}dx_{n}$ אז $\;df$ הוא דיפרנציאל שלם. אם הוא מקיים $\forall (i,j<n\wedge i\neq j)\left[\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right)_{\{x_{k}:k\neq i\}}=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)_{\{x_{k}:k\neq j\}}\right]$ או במילים אחרות, הפונקציה $\;f$ היא פוטנציאל.