פיזיקה תיכונית/קרינה וחומר/גלים/מתמטיקה

הפרש פאזה

מופע/פאזה הוא מושג שמתייחס למצב הרגעי של תופעה מחזורית כלשהי, כלומר מצב כלשהו של הגל בתוך זמן המחזור. כדי למצוא את הפרש הפאזות, נמצא את המרחק בין נק' ספציפית בגל אחד, לאותה הנקודה בגל השני, באותו הזמן. נציין שזמן מחזור שלם הוא 2π (ברדיאנים). הנה גרפים לדוגמה:

כל הפרש בין קו מקווקו אנכי לאחד הקודם לו מייצג חצי מזמן המחזור (שכן זמן מחזור שלם יהיה הזמן בין נקודה אחת על הגרף, לבין הזמן בנקודה הזהה לה הבאה). באיור לעיל ניתן לראות למשל, כי ההפרש בין נקודת ה-Max של הגרף הראשון (גרף a) לנקודת ה-Max של הגרף השני (גרף b), מבחינת זמנים, הוא חצי זמן מחזור, כלומר - הפרש הפאזות הוא π (רדיאנים).

להלן דוגמא להפרש פאזה אפס:

הקשר בין מהירות לתדירות

מאחר והן תדירות והן זמן מחזור הינם ערכים אשר מטרתם לתאר את הערך המבטא את הזמן בתנועה מחזורית, קיים ביניהם קשר. מאחר ותדירות מבטאת את מספר המחזורים בשנייה, הקשר המתמטי בניהם הוא:

$T={\frac {1}{f}}$

לדוגמא

נתון לו גם שמשלים 9 מחזורים ב3 שניות מהוא הזמן מחזור והתדירות של הגל? תשובה:אנו יודעים כי התדירות שווה למספר המחזרוים חלקי שניה לכן התדירות שווה ל 3 (Hrz)

כדי לחשב את הזמן מחזור נציב את התדירות בנוסחא ונקבל שהזמן מחזור שווה לשליש שניה.

משוואת הגל

משוואת הגל הפשוט היא משוואה המתארת את הקשר בין מהירות הגל, זמן המחזור של הגל, ואורכו. מאחר ואורך גל הוא המרחק שמשלים גל בזמן מחזור אחד, אז היחס המקשר בין שני המשתנים הללו הוא מהירות הגל. כלומר, הקשר בין המרחק שגל משלים בזמן מסויים הוא המהירות, דבר הדומה למשוואות תנועה רגילות. משוואת הגל הפשוט היא: $\lambda =v\cdot T$

ובפשטות- זמן כפול מהירות שווה דרך, כלומר, המרחק שהגל עבר, משמע, אורך הגל.

גל עומד

גל עומד הוא גל, שנקודות האמפליטודה שלו אינן מתקדמות במרחב לאורך הזמן. בגל עומד, כל החלקים שלו מתנודדים באותה תדירות ובאותה הפאזה, כלומר כל הנקודות מגיעות באותו הזמן לשיווי משקל (כפי שניתן לראות באנימציה מתחת, כאשר הגל מתיישר).

Standing wave

גל עומד יכול להיווצר במיתר כתוצאה מהתאבכות (חיבור מצב) של שני גלים שנעים בכיוונים מנוגדים. בשני קצוות - ניתן ליצור גל עומד על ידי פריטה, משתמשים בתופעה זו בשביל ליצור צליל בכלי נגינה.

נקודות צומת (node), הן נקודות בהן האמפליטודה היא תמיד 0, ונקודות טבור (antinodes) הן נקודות שבהן האמלפיטודה היא מרבית. ישנן כמה דרכים להווצרות גל:

א. קצוות משוחררים - צריך משני צידיו של המיתר ליצור בו זמנית שני גלים מחזוריים מנוגדים, כלומר כיוונים הפוכים עם אורך גל זהה. אילו אין להם אורך גל שונה, לא תהיה התאמה, וההתאבכות לא תגרום לגל עומד.

ב. קצה אחד תפוס - כאשר הקצה של מיתר מוחזק, היא מתפקדת כצומת. אם שולחים הפרעה כלשהי במיתר, תיווצר תנועה גלית, וכאשר גל זה יגיע לקצה התפוס, הוא יוחזר באופן הפוך. כתוצאה מכך, גל עומד יכול להווצר על ידי ההתאבכות של הגל הראשוני, ושל הגל החוזר מהכיוון הפוך. בצורה הזו, גל עומד יכול להווצר רק באורכי גל מסוימים. הקשר בין אורך המיתר לאורכי הגל האפשריים שיכולים להיווצר במיתר:

$L=n\cdot {\frac {\lambda }{2}}$

Standing wave in a rope

כאשר L הוא אורך המיתר, הוא אורך הגל, וn הוא מספר שלם.

ג. שני קצוות תפוסים - ניתן ליצור גל עומד על ידי הפרעה במיתר (כמו פריטה) אך גם כאן, הגלים העומדים שיכולים להיווצר במיתר נתונים על ידי הנוסחה:

$L=n\cdot {\frac {\lambda }{2}}$

שני קצוות תפוסים

גל עומד ייווצר רק כאשר אורך המיתר הוא כפולה שלמה של מחצית אורך הגל.

תרגילים

הפרש פאזה

נתונים שני גלים שונים A ו-B. כל הפרש בין קו מקווקו אנכי לאחד הקודם לו מייצג חצי מזמן המחזור (שכן זמן מחזור שלם יהיה הזמן בין נקודה אחת על הגרף, לבין הזמן בנקודה הזהה לה הבאה). הפרש הזמנים בין כל שני קווים אנכים הוא 3 שניות.

א. מצא את הפרש הפאזה בגל A בין הנקודות האדומות.

ב. מצא את הפרש הפאזה בגל B בין הנקודות הכחולות.

פתרון לא': ניתן לראות כי עובר זמן מחזור שלם בין הנקודה האדומה השמאלית לנקודה הבאה שנמצאת באותו מיקום y, ועוד חצי מזמן זה, לכן התשובה היא אחד וחצי זמן מחזור= 4.5 שניות

פתרון לב': ניתן לראות כי הנקודה הכחולה הימנית נמצאת בחצי המרחק שנמצא בין הנקודה הכחולה השמאלית לבין הנקודה הבאה שנמצאת באותו שיעור ה-y שלה, לכן התשובה היא חצי זמן מחזור= 1.5 שניות

משוואת הגל

נתונה משוואת מקום זמן של גל מסויים, נתון כי אורך צלע של כל משבצת הוא 2 ס"מ:

א. מצא את אורך הגל.

ב. נתון שאת הגרף הנ"ל צילמו במשך 9 שניות. מהי מהירות הגל?

פתרון לא': את אורך הגל ניתן לחשב בעזרת חישוב המרחק בין הפאזות החיוביות/ שליליות של הגל. ניתן לראות שהמרחק בין 2 פאזות חיוביות הוא 4 משבצות, ומאחר ואורך כל משבצת הוא 2 ס"מ אורך הגל הוא: $8=4\cdot 2$ אורך הגל הוא 8 ס"מ, כלומר 0.08 מטר.

פתרון לב': תחילה נחשב את זמן המחזור של הגל, ניתן לחשב זאת ממספר מחזורי התנועה אשר מתבצעים במהלך 9 שניות. את כמות מחזורי התנועה נתחיל לחשב מתחילת התנועה בפאזה השלישית עד סוף התנועה. ניתן לראות כי נכנסים 3 זמני מחזור מתחילת התנועה ועד סופה, ולכן אורך זמן המחזור הוא: ${\frac {9}{3}}=3s$ לאחר שחישבנו את זמן המחזור של הגל, נוכל למצוא את מהירותו בעזרת משוואת הגל: $\lambda =v\cdot t$

$v={\frac {\lambda }{t}}$

${\frac {0.08}{3}}=0.0266m/s$

לכן מהירות הגל היא 0.0266 מטר בשנייה

גל עומד

מיתר עם קצוות תפוסים באורך L רוטט ויוצר גל עומד. נתון שיש לגל עומד זה 7 נקודות טבור. הבע בעזרת L את אורך הגל של המיתר.

פתרון: ניתן להבין לפי השרטוט שאורך הגל מופיע 3.5 פעמים, על ידי ספירת כמה פעמים הוא חוזר על עצמו: כיוון שזה גל עומד עם קצוות תפוסים זאת אומרת שמתקיים הקשר: $L=n\cdot {\frac {\lambda }{2}}$ כאשר $n=7$, כלומר:$L=7\cdot {\frac {\lambda }{2}}=3.5\cdot \lambda$ ועל ידי פתרון המשוואה באופן אלגברי נגיע לכך ש: ${\lambda }={\frac {7}{2}}\cdot L$

תרגיל נוסף

פי כמה גדול או קטן התדירות של גל עומד בעל 4 נקודות טבור מהתדירות יסוד שלו?

פתרון:
תדירות יסוד:
$L={\frac {\lambda }{2}}={\frac {v}{2f}}$
$f_{0}={\frac {v}{2L}}$
תדירות הגל:
$L=4\cdot {\frac {\lambda }{2}}=4\cdot {\frac {v}{2f}}$
$f_{4}={\frac {4v}{2L}}$
וכפי שניתן לראות זה פי ארבעה מתדירות היסוד.